5.2. Algjebra dhe funksionetSHKALLA 1
AF1.1.0 Studentët përdorin një numër të fjalive me operacione të simboleve dhe shprehjeve që të zgjedhin problemet:
AF1.1 Shkruaj dhe zgjidh një numër të fjalive nga situata të problemeve që shprehin relacion të involvuar, në vazhdim dhe substrakt.
AF1.1.2 Të kuptuarit dhe kuptimi i simboleve +, -, =.
AF1.1.3 Krijo situata problemesh që mund udhëheqin një numër të fjalive të involvuara në vazhdimësi dhe substrakte.
SHKALLA 2
AF2.1.0 Modelet e studentëve, prezentimet dhe interpretimet e një numri të relacioneve që krijojnë dhe zgjedhin probleme të involvuara në vazhdimësi apo substrakte.
AF2.1.1 Përdori rregullat komunikative dhe asociative, të thjeshtësosh kalkulime mentale dhe të kontrollosh rregullat.
AF2.1.2 Rikthe situatat e problemeve në një numër të fjalive të involvuara në vazhdimësi dhe substrakte.
AF2.1.3 Zgjidh problemin e vazhdimësisë dhe substraktin duke përdorur të dhëna prej grafikonit të thjeshtë, grafikonit të vizatuar dhe numrit të fjalive.
Komente: Në algjebër dhe funksionet elementare(të thjeshta) dhe standardet e ndjekura është një qëllim elementar(esencial) i instruksioneve matematikore në shakallën e dytë.
AF2.1.1 Përdori regullat komunitative dhe asociative për thjeshtësim mental të kalkulimeve dhe të kontrollo rregullat. Sidoqoftë potencimi këtu duhet që të jetë në përdorim të këtyre regullave të thjeshtësuara; p.sh: e dimë se 5 + 8 = 13 na vjen ndër mend kjo punë se mësimi 8 + 5 = 13 gjithashtu. Të mësuarit e terminologjisës, nuk është aq e rëndësishme. Studentët duhet që të fillojnë të zhvillojnë një dakordim të një fuqie për unifikim të regullave, por mbi këtë etapë këta pika(shenja), pjesërisht koncepti i sofistikuar i regullave asociative është me siguri gabim se sa ajo të kuptuarit e tyre tërrësisht.
SHKALLA 3
AF3.1.0 Studetët zgjedhin simbolet, operacionet dhe hspalosjen e prezentimit, përshkrimit, të thjeshtësimit dhe zgjedhjes së thjeshtë të relacioneve të numrave:
AF3.1.1 Prezentimi i relacioneve të kuatitetit në formën e shprehjeve matematikore, ekuacioneve(barazimeve) ose joekuacioneve(jobarazimeve).
AF3.1.2 Zgjidh problemet e involvuara me ekuacione numerike ose joekuacione numerike.
AF3.1.3 Zgjidh paraqitjen e operacioneve dhe relacionet e simboleve që të bëjsh një shprehje të vërtetë(p.sh: nëse 4__3 = 12, ajo shenjë e simbolit shkon bosh(zbrazët)?
AF3.1.4 Shpreh një njësi të thjeshtë të bashkëbisedimit prej simboleve (p.sh: __inç =__këmbë x 12).
AF3.1.5 Njohe dhe përdore shpërndarjen asociative dhe komunikative të shumëzimit (p.sh: nëse 5 x 7 = 35 atëhëre ajo është 7 x 5 dhe nëse 5 x 7 x 3 = 105 atëherë ajo është 7 x 3 x 5 ?).
AF3.2.0 Studentët paraqesin relacionet e thjeshta funksionale:
AF3.2.1 Zgjidh problem të thjeshtë të involvuar në një realcion funksional në mës dy vlerave numerike(p.sh: gjejë çmimin total të shumëzimit të artikujve të dhënë çmim për njësi).
AF3.2.2 Njohe dhe kupto përkufizimet lineare prej regullave të tyre, p.sh: numri i këmbëve në numrin e dhënë të kuajve mund të kalkulohet(njehsoe) duke llogaritur me katër(4s) ose duke shumëzuar numrin e kuajve me katër(4).
Komente: Në shkallën e tretë, algjebra dhe funksionet e thjeshta riten në një rëndësi:
AF3.1.1 Riprezentimi i relacioneve të vlerave në formë të shprehjeve matematikore, barazimeve ose jobarazimeve. Sepse të kuptuarit e këtyre koncepteve mund të jetë një hap shumë i vështirë për studentët, instruksionet patjetër duhet të jenë të prezentuar me kujdes, dhe shumë shembuj duhet të jepen: 3 x 12 inç në 3 këmbë, 4 x 11 gjuj në 11 mace, 2 x 15 rrota në 15 biçikleta, 3 x 15 rrota në 15 triçikleta, numri i studentëve në klasë < 50, numri i ditëve në një vit >300, dhe kështu me rradhë.
Tre standardet pasardhëse shfaqin në të parën shpërdjanë shembuj se çka do të thotë ajo nga "reprezentimi i relacioneve..." Mësuesët duhet të jenë të sigurtë se çfarë fuqie njohëse komunitative dhe asociative kanë në shumëzimin si një thjeshtësim mekanik dhe si një kuptim të ikjes së potencuarit në një memorizim të varfur të formulave të pa mos e kuptuar. Standardi i dytë është gjithashtu i rëndësishëm dhe në pamje duhet të trajtohet me kujdes të veçantë:
AF3.2.1 Zgjidhe problemin e thjeshtë të involvuar në një funksion të relacioneve në mes dy vlerave(p.sh: gjeje çmimin total të shumëzuar të artikujve të dhënë me çmim për njësi artikulli).
SHKALLA 4
AF4.1.0 Studetët të përdorin dhe interpretojnë variabla, simbole matematikore dhe shpalosjen e shkrimit dhe thjeshtimin e shprehjeve dhe fjalive:
AF4.1.1 Përdori shkonjat, kutitë, ose shenjat tjera(simbolet), të qëndrosh në ndonjë numër në shprehje të shjeshta ose ekuacione(p.sh: demostro një kuptim dhe përdorimin e konceptit të një variable).
AF4.1.2 Interpreto dhe evaluo shprehjet matematikore që tani i përdorë në mbrendi të ushtrimit.
AF4.1.3 Përdorë mbrendinë e ushtrimit që të udhëzohesh(ndikohesh) se cilët operacione të shfaqen së pari kur ne i shkruajmë fjalitë që pastaj vazhdojmë me shumë se dy terma dhe operacione të ndryshme.
AF4.1.4 Përdorë dhe interpreto formula(p.sh: sipërfaqja = gjatësia x gjërësia ose A = lw ) që të ju pëgjigjesh në lidhje me vazhdimësinë e këtyre relacioneve.
AF4.1.5 Kupto se një ekuacion sikurqë është y = 3 x + 5 është një përshkrim për determinimin e numrin të dytë kur numri i parë është i dhënë.
AF4.2.0 Studentët dinë si të manipulojnë me ekuacionet:
AF4.2.1 Dinë dhe kuptojnë se barazimet e shtuara të barazimeve janë barazime(të barabarta).
AF4.2.2 Dimë dhe kuptojmë se barazimet e shumëzuara nga barazimet janë barazime(të barabarta).
Komente: Në shkallën e katërt algjabra dhe funksionet e thjeshta(elementare) vazhdojnë të zhvillohet me rëndësi. Të pestë nënpikat ndër standardin e parë janë të rëndësishme, por shkalla deri te e cila studentëtr nevojiten të kuptojnë këta thjeshtësime ti dallojnë. Standardet në vazhdimësi nuk kanë nevojë tju takojnë ikjeve jo të tyre të potencuara .
AF4.1.2 Interpreto dhe evalua shprehjet matematikore që tani përdorin kllapat.
AF4.1.3 Përdorë kllapat që të ndikosh se cili operacion ka performancë i pari kur shprehjet e shkruara përfshijnë më shumë se dy terma dhe operacione të ndryshme. Këat standarde involvojnë asgjë më tepër se shënim. Përforcimi real është si të mësojmë ti shkruajm shprehjet e jo të dikuptimta pra që të tjerët të mund ti kuptojnë ata. Sidoqoftë ajo mund të ketë kuptim në këtë pikë të sqaron me kujdes studentëve pse ligjet e asociative dhe komunitative janë të nënvijëzuara dhe pse arbitrarisht shuma ose produkti sikur që është 115 + 6 + (-6) + 4792 ose 113 x 212 x 31 x 11, nuk duhet të kenë një rradhitje në një rrugë partikulare asmëpak, ata duhet të llogariten në njdonjë radhitje partikulare.
Standaerdet AF4.1.4 dhe AF4.1.5 , të cilat në lidhje me relacionet funksionale janë shumë më të rëndësishme teoritikisht. Pjesërisht studentët, kuptojnë standardet AF4.1.5 sepse ajo përmban fshehtësi jashtë pikave(shenjave).
AF4.1.5 Nënkupton se një ekuacion sikurse që është y = 3 x + 5 është një përshkrim për të determinuar një numër të dytë kur numri i parë është i dhënë. Një mënyrë e të kuptuarit të një ekuacioni siç është y = 3 x + 5 është të punosh nëpër shumë çifte numrash (x , y ). Të shohësh nëse ata ndeshen me ekuacionin. P.sh: (1 , 8) dhe (0 , 5) bëhet, por (-1 , 3) dhe (2 , 10) nuk bëhet. Së dyti, standardi i algjebrës është i thjeshtë:
AF4.2.0 Studentët dinë se si të manipulojnë me ekuacionet. Ky standard dhe dy regullat e thjeshta që vijojnë në vazhdim, nëse kuptohen tani mund të qartësojnë më shumë se çka ndodh në matematikë dhe në lëndët tjera nga shkalla e pestë nëpër shkollat e mesme.
AF4.2.1 Dimë dhe kuptojmë se ekuacionet që u shtohen ekuacioneve janë të barabarta. 2 + 1 = 3, dhe 7 – 2 = 5. Pandaj sidoqoftë 2 + 1 + 5 = 3 + 7 - 2.
AF4.2.2 Dimë dhe kuptojmë se ekuacionet e shumëzuara nga ekuacionet janë të barabarta. 2 + 1 = 3, dhe 4 x 5 = 20. Pra sidoqoftë (2 + 1) x 20 = 3 (4 x 5). Sidoqoftë nëse këta koncepte nuk janë të qarta, vështirësitë në shkallët ë mëvonshme janë virtualisht të garantuara. Prandaj asistimi i kujdesshëm i studentëve, kuptueshmëria e këtyre principeve duhet të mbaronë këtu.
SHKALLA 5
AF5.1.0 Studentët përdorin forma në shprehje të thjeshta, për llogarijte të nivelizuara të shprehjeve për nivele specifike të formave dhe vërteton si dhe interpreton rrezullatet:
AF5.1.1 Përdorë informatat e marura nga një paragraf ose ekuacion që tu përgjigjesh pyetjeve të një situate problemi.
AF5.1.2 Përdorë një shkronjë që të paraqet një numër të panjohur, shkruaj dhe evaluo një shprehje të thjeshtë algjebrike në një formë prej zavendësimi.
AF5.1.3 Dimë dhe përdorim shpërndarje përvetësuese në ekuacion dhe shprehje me variabla(ndryhsore).
AF5.1.4 Identifiko dhe rradhit grafet dyshe në kuadrantet e ketërt në planin koordinativ(koordinata).
AF5.1.5 Zgjidh problemin e involvuar të funksioneve lineara me vlera polta(natyrore); shkruaj ekuacion; dhe graf nga rezulltatet e çifteve të rradhitura të vlerave të plota në një rrjetë.
Komente: Algjebra dhe funksionet e thjeshta për shkallën e pestë rezultojnë një nga hapat e çelësit në apstrakt dhe një nga hapat e definuara në lëvizjet nga të mësuarit e thjeshtë aritmetikë deri tek mesimi i matematikës: rivendosja e numrave prej variablave(ndryshoreve).
AF5.1.2 Përdorni shkonjë të prezentosh një numër të panjohur; shkruaj dhe evaluo një shprehje të thjeshtë algjebrike në një ndryshore nga zavendësim. Rëndësia e këtij hapi i cili kërkon një rezonancë me më pak se një lehtësim të thjeshtë manipulues, mandatet e pjesërishme kujdesen në prezentim të materialit.
Ideja e thjeshtë se, p.sh: 3 x + 5 është një shkurtim për një numër të pakufishëm të shumave, 3 (1) + 5, 3 (2.4) + 5, 3 (11) + 5, dhe kështu me rradhë, patjetër të jetë plotësisht i prezentuar dhe kuptuar nga stidentët dhe ata patjetër të ushtrojnë zgjedhjen e thjeshtë të shprehjes algjebrike. Por ajo është me siguri një gabim të shtypësh shumë fortë këtu-arsimtarët nuk duhet të mbingarkojnë. Ata duhet të kontrollojnë të kuptuarit e koncepteve të studentëve. Ndoshta studentët me ca probleme të fjalëkryqeve të thjeshta të ju japin praktikisht atyre në formë të shkruar një ekuacion për një të panjohur nga të dhënat në problemin në fjalë. Përsëri në algjebër dhe funksionet e thjeshta stabdardet në vazhdim janë të thjeshta.
AF5.1.4 Identifiko dhe grafo çiftet e rradhituar në katër kuadrannte të planit koordinativ.
AF5.1.5 Zgjidh problemet e involvuara me të funksioneve lineare me vlera numra të plotë, shkruaj ekuacion dhe graf, rezultati i çifteve të rradhitura të vlerave të plota në një rrjet.
SHKALLA 6
AF6.1.0 Studentët shkruajnë shprehje dhe fjali verbale si shprehje dhe ekuacione algjebrike; ata evaluojnë shprehje algjebrike, zgjedhin ekuacione lineare të thjeshta dhe grafe dhe interpretojnë rezulltatet e tyre:
AF6.1.1 Shkruaj dhe zgjidh një hap të ekuacionit linear në një variabël.
AF6.1.2 Shkruaj dhe avaluo një shprehje algjebrike për një situatë të dhënë, e përdorur në tre variabla(ndryshore).
AF6.1.3 Që ka të bëjë me rradhitjen algjebrike të operacioneve dhe me përmasa komunikative, asociative dhe distributive të shprehjeve të evalouara, dhe justifikimi i secilit hap në proces.
AF6.1.4 Zgjidh probleme manuale duke përdorur rradhitjen e saktë të operacioneve ose duke përdorur një kalkulator shkencorë.
AF6.2.0 Studentët analizojnë dhe përdorin tabela, grafe dhe regulla të zgjedhin problemet e involvuara në norma dhe përmasa:
AF6.2.1 Krijo një njësi mase te një tjetër (p.sh: prej këmbëve në mile, prej centimetrave deri në inça).
AF6.2.2 Demonstro një kuptim se një normë(shkallë) është një masë e një kuantitëti për një vlerë njësie të një kuantiteti tjetër.
AF6.2.3 Zgjidh probleme të involvuara të normave(shkallëve) me një shpejtësi mesatare, distancë dhe kohë.
AF6.3.0 Studentët hulumtojnë përkufizimet gjeometrike dhe përshkruajnë ato në formë algjebrike:
AF6.3.1 Përdorë variabla(ndryshore) në shprehjet duhet përshkruar kuantitetet gjeometrike (p.sh: P = 2 w + 2l; A = 1/2 bh , C = πd -formulat për perimetrin e drejtkëndshit, fusha e trekëndëshit dhe perimetri i rrethit, në marëdhënie me ta).
AF6.3.2 Shfaqë në formë simbolike relacionet e thjeshta që hasen nga gjeometria.
Komente: Në algjeber dhe funksionet e thjeshta, standardet e rëndësishme janë AF6.1.1 dhe AF6.2.2. Standardet që vijojnë është një ekpansion diskutimi i ekuacionit linear që kishte filluar në shkallën e pestë:
AF6.1.1 Shkruaj dhe zgjidh një hap ekuacionesh lineare në një variabël(ndryshore). Studentët në shkallën e gjashtë do të kuptojnë dhe do të kenë mundësi të zgjedhin thjshtë një ekuacion variabel(ndryshues) i cili është kritikues i rëndësishëm për të fushat e aprovuara(zbatura-miratuara) ne matematikë. Në më shumë shkallë të niveleve të avancuara studentët do të mund të zgjedhin sistemet e ekuacineve lineare. Në shkallën e gjashtë do të kenë mundësi të justifikojnë secilin hap në evaluimin e ekuacionit linear që thëritet në standardet AF1.1.3(Algjebra dhe funksionet). Ky përforcim është kritikues deri te rezonimi algjebrik se është që të ndjekë dhe që të zhvillon me kujdes zbatimet(miratime, aprovimet) logjikisht në secilin hap të procesit. Standardi AF1.1.1 është afërsisht i barabartë me standardet në raport dhe përqindje në sens të numrit të thjeshtë(standard AF1.1.2 dhe AF1.1.4)
AF6.2.2 Demonstro të kuptuarit se shkallë(norma) është një masë e një kuantiteti për një njësi madhësi e të kuantitetit tjetër. Standardi 2.2 potencon madhësinë e të kuptuarit dhe kuptimi i koncepteve të shkallës(normës) dhe raportit. Shakalla dhe raporti janë thjeshtë interpretime të ndryshme në konteste të ndryshme të ndarjes së një numri nga tjetri. Ky standart është afër i lidhur me problemet e shkallës, me shpejtësin mesatare, distancën dhe kohën që prezentohen në standardet 2.3.
SHKALLA 7
AF7.1.0 Studentët shfaqin relacionet kuantitative duke përdorur terminologji algjebrike, shprehjet, ekuacionet, joekuacionet dhe grafet:
AF7.1.1 Përdorë variabla dhe aprovo operacionet të shkruash një shprehje, një ekuacion, një joekuacion ose një sistem ekuacionesh ose jobarazimesh që prezentojnë një shkrim verbal (p.sh: tre më pak se një numër, gjysma e gjerësisë së fushës A).
AF7.1.2 Përdorë formën e saktë të operacioneve të evoluara të shprehjeve algjebrike siç është 3 (2 x + 5) 2.
AF7.1.3 Thjeshtëso shprehjet numerike duke aprovuar përmasa të numrave racional (p.sh: identiteti, inversi, distributive, asociative, komunitative) dhe justifiko procesin e përdorur.
AF7.1.4 Përdorë terminologjinë algjebrike (p.sh: variablat-ndryshoret, ekuacionet, termat, koeficientet, jobarazimet, shprehjet dhe konstantet saktesisht).
AF7.1.5 Paraqit relacionet kuantitative grafikisht dhe interpreto kuptimin e një pjese specifike në paragraf në një situatë të paraqitur nga grafi.
AF7.2.0 Studentët interpretojnë dhe evaluaojnë shprehjet e involvuara me fuqi të plotë dhe rrënjë të thjesht:
AF7.2.1 Interpreto të gjithë fuqitë e numrave pozitiv si shumëzues të përsëritur dhe fuqitë e numrave negativ si ndarje të përsëritur ose shumëzuesve nga nja shumëzim invers. Thjeshtëso dhe evaluo shprehjet që përfshijnë eksponentët.
AF7.2.2 Shumëzo dhe pjesto monomet; proceset e zgjatura që kanë fuqi dhe bazën e rrënjës të monomeve kur rezulltateve e shkronjave në një monom me një eksponent të plotë.
AF7.3.0 Grafi studentëve dhe interpretimi linearë dhe disa funksione jolineare:
AF7.3.1 Funksionet e grafit të formës у = n2 dhe y = n3 dhe përdorë problemet zgjidhëse në të.
AF7.3.2 Skico evaluimin prej vëllimit tredimenzional të shenjave për evaluime variuese ne vijën e zgjatur(p.sh: kubi me variacionet e vijës së zgjatur ose e prizmës trikëndore me një lartësi të fiksuar dhe një bazë trekendore ekualaterale të gjatësisë së variacionit).
AF7.3.3 Grafi i funksionit linear, nënvijëzon se ndryshimi vertikal (ndrishon në vlera y ) për njësi të nryshimit horizontal(ndryshohet në vlear x) është gjithmonë i njejtë dhe dihet se raporti (" ngritet mbi vrapimin ") dhe thiret si hark i një grafi.
AF7.3.4 Skico evoluimin e kuantitetit se cilët raporte janë gjithmonë të njejta (p.sh: kushton një numër ose një artikull, një këmbë deri në një inç, perimetri deri tek diametri i një rrethi). Bashko një vijë deri te skica dhe kupton se harku i vijës është i barabartë me kuantitetin e vijës.
AF7.4.0 Studentët zgjedhin ekuacione lineare të thjeshta dhe jobarazime mbi numrat racional:
AF7.4.1 Zgjidh dy hapa të ekuacionit linear dhe jobarazimeve në variabël mbi numrat racional, interpreto zgjidhjen ose zgjitdhjet në kontekst prej të cilit ata i paraqesin dhe verifiko jorezonancën e rezultatit.
AF7.4.2 Zgjidh problemet e hapave të shumta të involvuara në shkallë me shpejtësi mesatare, distancë dhe kohë ose në një variacion(formë) direkt.
Komente: Familjarizimi me ligjet shpërndarëse, ligjet asociative, dhe rregullat komutative për shtesat dhe shumëzimet e të gjitha numrave ëe kanë qenë të shfaqura në pika të ndryshme të mëparshme në algjebër dhe funksione standarde të shkallës së pestë dhe gjashtë. Për këta standarde në shkallën e shtatë konceptet janë marë në një hap më të largët me vazhdimësi:
AF7.1.3 Thjeshtëso shprehjet numerikë duke zbatuar përmasat e numrave racional(p.sh: identiteti, inversi, shperndarja, asocimi dhe komutativiteti) dhe justifiko procesin e përdorur. Ky është një hap kritik në të mësuarit si ti apstrahojm dhe si sfaqet fuqia e mendimit apstrakt në të ndihmuarit që të kemi kuptim të situatave komplekse dhe të nxjerish përmasat elementare të tyre. Një nga pikat shumë elementare në aplikimet e matematikës është sistemi i ekuacioni tlinear. Të kuptuarit e qartë të diçkaje të vetme është aq thjeshtë sa sistemi i dy ekuacioneve lineare në dy të panjohura është udhëkryq i të kuptuarit më shumë i shenjave të avancuara, siç janë llogaritjet dhe analizat.
Hapat e para kryesore janë marë nga ky drejtim kur studijimi i një ekuacioni të thjeshtë linearë është i inicuar nga këta katër standarde:
AF7.3.3 Funksioni i grafit linear nënvijëzin se ndryshimi vertikal(ndryshon në vlera y ) për njësinë e ndryshimit horizontal(ndryshon vlera x ) është gjithmonë i njejtë dhe dihet se raporti (" ngritet mbi vrapimin ") thiret harku i një grafi.
AF7.3.4 Skico evaluimin e kuantitetit se cilat raporte janë gjithmonë të njejta (p.sh: çmimi deri te numri i një artikulli, këmba deri te inçi, perimetri deri te diametri).
Bashko një vijë deri te skica dhe kupton se harku i vijës është i barabartë me kuantitetin e vijës.
AF7.4.1 Zgjidh dy hapa të ekuacionit linear dhe jobarazimeve në variabël mbi numrat racional, interpreto zgjidhjen ose zgjitdhjet në kontekst prej të cilit ata i paraqesin dhe verifiko jorezonancën e rezultatit.
AF7.4.2 Zgjidh problemet e hapave të shumta të involvuara në shkallë me shpejtësi mesatare, distancë dhe kohë ose në një variacion(formë) direkt.
Përsëri, lidhja e standardeve të dyta me njësitë matëse dhe standardet gjeometrike AF7.1.3 duhet që të nënvijëzohet. Këta pika shperndajnë probleme të shkëlqyeshme për ti testuar të kuptuarit e studentëve nga teknika për zgjedhje të ekuacioneve lineare. Studentët në këtë etapë të zhvillimit algjebrik duhet që të kenë mundësi të kuptojnë një qartësim të koncepteve të diçkaje me koncepte të qarta të raportit dhe të proporcioneve direkte (disa herë thiret variacioni direkt ). " Raporti në mes dy kuantiteteve " është jo shumë me tëpër e as më pak se një interpretim i pjesërishëm i një kuantieti të pjestuar me tjetrin në kuptim numerik. Sigurisht, këta studentë dinë larg vetëm si të ndajnë numrat racional. Arsimtari duhet të u tregonë studentëve se moskuptimi në mes numrave iracional gjithashtu do të jetë i sqaruar deri te ata në kurset që vijonë më pas; sidoqoftë ky definicion i këtij "raporti" do të jetë shpejt i sqaruar. Variacioni direkt do të jetë i sqaruar në termat e funksioneve lineare: " variacioni A direkt me B " do të thotë se "për një fiksim konstant c , A = c B.". Arsimtarët dhe librat tekstual vazhdimësisht mundohet të zberthejnë (sqarojnë) kuptimet e të dy termave gjuhësorë të vështyrë, që rezultojnë në çorientim tek studentët dhe ndoshta arsimtarët. Moszbërthimi nuk është patjetërsueshëm: raporti dhe variacioni direkt janë terma matematikorë dhe ata duhet të jenë qartë të definuara njëherë, studentët duhet që njëherë të kuptojnë faktet e rëndësishme dhe teknike.
