SHKALLA 1-7

SHKALLA 1 

Shënimë: Për kuptimi e numrave është themelore standardi vijues :

1KN.1.1 Numrimi dhe shkrimi i numrave të plotë deri më 100. Është më rëndësi studentët fitojnë koeficientine numrit dhe llogaritjes e jo vetëm thjesht të bëjmë njehësimi përmendësh deri më 100.
Duhet që edhe ata të kuptojnë se për shembull njesimi mund të kryhet në cilen do rënditje dhe ne cilen do drejtim, e jo ne shabllon standard të llogaritjes prej të majtës ne te djadhtë. Kryesore është që çdo element të zgjidhet njeherë dhe vetem njeherë.
Studentet patjetër duhet të kuptojn që numrat paraqesin badhëksi të elementeve me cilsi të veçant. Me rëndesi të vecantë është mesimi kuptimi gradual i grupimit të numrave në dhjetëshe dhe shumzimin me 10. Duhet të theksohet qe shifrat e dhjetësheve paraqesin vlera dhjetore dhe numrave të caktuar të njesheve kështu P.sh 12 nuk paraqet vetem shumen e 12 elementeve por gjithashtu paraqet 1 dhjetshe dhe 2 njeshe, të njejtës rendësie për kuptimin e numrave eshte edhe standardi i ardhshem : 

1KN.1.2 Krahasimi dhe rënditja e numrave te plotë gjer 100 me perdorimin e simboleve për më i vogel se, e barabarte me, ose më i madh se (< , = , >). Zhvillimi kontinual i aftesive për mbledhje dhe zbritje si ç është e dhënë në standardet e ardhshme , është themelore :

1KN.2.1 Njohja e fakteve të mbledhjeë (shumat gjer 20) dhe fakteteve përkatëse të zbritje dhe mbatja mend e tyre.

1KN.2.5 Njohjae kuptimit të shumës (bashkimit, rritjes) dhe zbritje (ndarjes, krahasimit , gjetjes së ndryshimit). Për shembull studentet duhet të kuptojn që barazimi 15 – 8 = 7 është e njejtë me 15 = 7 + 8.
Kujdes të vecante duhet ti kushtohet arritjes të ketyre aftesive sepse ata studentët që nuk do ti mësojn këto tema do të kenë probleme serioze në klasat më të larta. Për tu arritë këto standarde studentët gjate vitit shkollor duhet të zgjedhin problemet e thjeshta me mbledhje dhe zbritje.

SHKALLA 2

Veretje: Si në klasen parë, njohja e numrave te plotë është temë (subjekt) themelor ne klasen dytë, edhe pse paraqitetn thyesat dhe numrat decimalet Standardet vijuese kuptimin e numrave janë me rendësi të veçante:

2KN.1.1 Numrimi, leximi dhe shkruarja e numrave të plotë gjer më 1000 dhe caktimi i vendit të çdo shifre sipas vleres të saj.

2KN.1.3 Krahasimi dhe rënditja e numrave të plotë gjer më 1000 me perdorimin e simboleve <, =, >. Për shkaqe të ngjajshme edhe standardet e me poshtme gjithashtu jane shume te rendesishem:

2KN.2.1 Kuptimi dhe perdorimi i lidhjes së ndërsjellt në mes mbledhjes dhe zbritjes (për shembull. Shpreheja e kundërt numerike me 8 + 6 = 14 është 14 – 6 = 8) gjatë zgjidhjes se problemeve dhe korigjimie të zgjedhjesë.

2KN.2.2 Njesimin e shumes apo ndryshimit të dy numrave të plotë me më shumë se tre shifra. Standardi 2.1 u jep studenteve zbatim të qartë të lidhjen në mes veprimeve të llojeve të ndryshme (mbledhje dhe zbritje) dhe mund te perdoren për nxitjen e metodave me fleksibile të mendimit dhe zgjedhjen e problemeve për shembull njohja e mbledhjes dhe anasjelltas. Problemi 144–98=? mund të zgjidhet duke përdorur 144=100+44=98+2+44=98+46.

Standardi 2KN.2.2 ka të bëjë me mësimin algoritmit të mbledhjes së numrave me më më shum se tri shifra. Për studentët e kësaj moshe duhet të meren parasysh dy gjëra

E para është që mësimi në fillim duhet të jetë fleksibil dhe jo te insistohet ne formalizëm të këtij algoritmi në fillim. Për shembull mesimi mund të fillojë më 23 + 45 duke mare parasysh që 20 + 3 + 40 + 5 = 20 + 40 + 3 + 5 = 60 + 8 = 68. Ky proces i detyron studentët që ta përdorin perparsinë e mbledhjes së shifrave të dhjetsheve dhe shifrave te njesheve ndaras. Gjatë kësaj ne vet fillimin nuk duhet shumë të theksohet shkathtesia për “mbajtje”. Vetia kyçe e këtij algoritmi është mundesia e shtimit të numrave kolonë për kolonë nga një shifër për moment. Me fjale tjera është me rendesi te shtohen të vendit të njejtë (shifra të njësheve, shifra të dhjetësheve, shifra të qindësheve dhe kështu me rradhe) dhe prap në fund të fitohet përgjigje e saktë. Vetem kur kjo ide të kuptohet mund te kalohet ne mesimin e shkathtësië për “mbajtje”. E njejta gjë vlen edhe për algoritmin e zbritjes. Arsimtaret në fillim duhet që ta theksojn faktin se zbritja e dy numrave treshifrorë mund të kryhet me zbritje të shifrave të vecanta që kanë vend të njejtë. Kështu P.sh 746-503 mund të zgjidhet me tri zbritje të veçanta me shifra te vecanta: 7-5 = 2 ; 4-0=4 dhe 6-3=3 pra 746-503=243. Duhet të tregohet se kjo vlen sepse 746-503=700+40+6-500-00-3. Shkathtesia e veçante e “ndrimit” (huazimit) për zbritjen 793-568 mund të mësohet atëher kur do të mesohet ideja për zbritjen efikase të shifrave të veçanta.

Sqarime formale në këtë nivel klasor nuk duhen, gjegjësisht duhet të ndërohen bindjet jo formale. Arsjetimet matematikore për këto standarde duhet të vazhdojnë në klasen e 4. Standardi i tret për kuptimin e numrave është themelore që studentët ta kuptojnë aritmetikën dhe aftesinë e zgjedhjes së problemeve me shumzim dhe pjestim:

2KN.3.0 Studentët shtrojn dhe zgjedhin probleme me shumzim dhe pjestim

Me rëndesi të veçantë është që studentët të ri kujtohen që shumzimi është forma e shkurtë për mbledhjen e perseritur, zgjidhja e sakt e 5x7 është 7+7+7+7+7, as me shumë as me pak. Ky është një fakt që studenteve duhet tju mbese në mendje se çdo concept në matematikë ka domethënjën precise dhe të padiskutueshme..

Diskutimet për thyesat dhe qëllimet e përmendura në standardet numerike

2KN.4.1,2KN.4.2,2KN.4.3, gjithashtu janë me rëndesi esenciale për zhvillimin e aftësive aritmetike të studentëve. Edhepse ekuivalenca e thyesave nuk është e dhënë në mënyrë eksplicite te standardet, është ide e mirë te hapet diskutimi në këtë temë në këtë momentë – studentët duhet të dijnë për shembull, që 2/4 është njejtë me ½, koncept që mundet (dhe duhet) të paraqitet në figurë. Përfundimisht, si punë praktike dhe si zbatim themelor të këtyre temave të diskutuara më parë, matrijali te standardet për kuptimin e numrave.

SHKALLA 3

Veretje: Në standardet për kuptimin e numrave, standardet 1.3 dhe 1.5 janë shumë të rendesishem:

3KN.1.3 Cakltimi i vlerës sipas pozicionit, në çdo shifre te numrat gjer më 10000.

3KN.1.5 Përdorimi i shënimit të zgjeruar për paraqitjen e numrave (për shembull 3206 = 3000 + 200 + 6). Studentet që i kuptojn mirë numra e plotë (shembull sipas pozicionit të tyre) duhet ti kushtoj kujdes të veçant standardit të dytë.
Këtu standardet 3KN.2.1,3KN.2.2,3KN.2.3,3KN.2.4 janë me rëndësi të vecantë:

3KN.2.1 Njësim i shumës apo ndryshimit të dy numrave të plotë ndërmjet 0 dhe 10000.

3KN.2.2 Memorimi i tabelave të shumzit për numrat 1 deri 10.

3KN.2.3 Përdorimin e relacioneve inverze për shumëzim dhe pjestim, për zgjidhejn dhe korigjimin e rezultateve.

3KN.2.4 Zgjedhja e problemeve me shumëzim të numrave shumëshifrorë me numrat njëshifror (3671 x 3 = __). Pohimi që përmban fakti në standardin 3KN.2. ishte dhënë në klasen 2: Kur studentët njeherë bëhen të shkathtë në mbledhje dhe zbritje të numrave treshifrorë, zmadhimi i numrit të shifrave më nuk paraqet arsyje veshtirsi. Në klasën e tretë ishte paraqitur standardi 3KN.2.4. Përsëri, theksi në fazën e parë të të mësuarit të algoritmit të shumzimit duhet të vehet në shembuj të thjesht ku “mbajtja”nuk luan asnje rol. Per shembull,234 x 2 është e njetë me dyfishimin 200 + 30 + 4 që është 400 + 60 + 8 që është 468 që në anën tjetër fitohet me 234 kur çdo shifër shumzohet me 2. I njejti mendim përdoret edhe për 123 x 3. Njeherë kur studentët do të shikojnë mundësinë se rezultati gjatë shumëzimit të numrave shumëshifror mund të fitohet hga rezultatet e problemeve të thjeshta me një shifre, idea e “mbajtjes” mund të prezentohet, por për gjetjen e përgjigjes për problemet e tipit 2 x 6,3 x 6 dhe 4 x 6. Ky fakt e ben për mesimin e tabelës së shumzimit shumë të rëndësishme. Aftësia në mes shumzimit dhe pjestimit (standardi 2.3) duhet te theksohet prej fillimit. Me fjalë të tjera 39 e ndarë me 3 = 13 është e njejtë vertetimi që 39 = 13 x 3. Shifet se është e domosdoshme që standardet e klasës së III për këtë fakt.

Dy tema në standardin e tretë gjithashtu meritojnë kujdes të veçantë:

3KN.3.2 Mbledhja dhe zbritja e thyesave të thjeshta (Për shembull, të tregohet që 1/8 + 3/8 është e barabart me ½).

3KN.3.3 Zgjidhja e problemeve me mbledhje, zbritje, shumzim dhe pjestim i një shume te caktuar të parave në shënimin decimal si dhe shumzimi dhe pjestimi te shumes se parave në shënimin decimal me shumzues dhe pjestues të numrave të plotë. Këto janë elemente hyrëse në aritmetikë me thyesa dhe numrat dhjetor – tema të cilat do të ndrohen gjate disa viteve.

SHKALLA 4

Tash trekendëshi kënddrejtë është i ndarë në 35 tekëndësha kenddrejata të vogel me madhësi të njejta, ashtu që çdo kënddrejtë i vogël është 1/35. D.m.th. ka 14 kënddrejata të njetë në pjesën e prerë, kjo tregon se pjesa e prerë nuk paraqet vetem 2/5 por edhe 14/35. Mendimi i mëparshëm është i përgjithshëm. Për klasen e 4, kjo në përgjithësi duhet të jete më e thjesht. Kujtuar që a/b = na/nb mund të jetë e mjaftueshme. Ajo që duhet në vecan të tregohet ështe përfundimin përbashkët për a/b dhe na/nb, fakti që kush do dy thyesa mund te shkruhen si dy thyesa me emertim te njejt. Sipas asaj nëse a/b dhe c/d janë dy thyesat e dhëna, ata mund të zavendësohen me thyesa ekuivalente: ad/bd dhe bc/bd që kanë emërtim të njejtë bd. Ky fakt ka përdorim të veçant gjatë mbledhjes se thyesave.

Mendimi pse thyesa ka interpretim ndarëse, siç është dhënë më lartë, gjithashtu ndikon ndajë të mesuarit të standardeve 4KN.1.7. Per shembull, për tu paraqit thyesa 3/5 si numër dhjetor, ne e ndajmë njësin e dhënë në 10 pjes të njejta. Kjo më mirë është paraqitur në boshtin numerik me 9 ndarje në distancë të njejtë të prerjes prej 0 deri 1. Me marjen 2, 4, 6 ose 8 pjes, ne fitojm 5 pjese te barabarta të njesis. D.m.th thyesa 3/5 i përgjigjet tre pjesëve, të zgjedhur deri te ndarja e 6 –të.

Standardet e ardhshme jane themelore dhe të reja:

4BS.1.9 Përdorimi konceptit të numrave negative (Për shembull në boshtin numerik, në numrimin, për temperaturat, për “borxhet”).

4KN.1.9 Rradhitjen e pozicionit relative të boshtit numerik të thyesave pozitive, numrave të përzier pozitiv dhe numrave dhjetor pozitiv me dy numra pas presjes dhjetore. Këto standarde mund të jenë më të vështira për ti mësura nxënsit nëse matriali i duhur i mëparshëm – rradhitjen e numrave të plotë dhe rradhitja e thyesave dhe numrave dhjetorë nuk është paraqitur me kujdesshmëri. Rëndësisë së këtyre standardeve kërkon tu shtrohet kujdës të vecant. Standardi i dyte u paraprin numrave dhjetor t “thjesht, gjegjesisht numrave dhjetor me dy numra pas presjes dhjetore. Në këtë kontekst ne nuk do ti diskutojm këto numra dhjetorë, por e rëndësishme është që të tregohet mbledhja dhe zbritja e tyre mund plotësisht të modelohet me ndimën e parave dhe kjo të bëhet joformale. Në vazhdim edhe operacionet aritmetike të numrave dhjetor (përfundimisht) me cilen do numer dhjetor shifror paraqiten në klasën e 5, ne shohim se është e nevojshme të informohen studentët për kete qe kryesish perfundimisht numri decimal eshte thyes I cili emertim eshte 10 n per ndonje numer natyror n. Ky vertetim është kryesor për të mësuarit e numrave decimal në klesën e 4.(Për tu kuptuar ky vertetim, është në ndimë të madhe përshkrimi i numrave dhjetorë si për shembull 1.03 bukfalishtë është si “një dhe tre pjesë të qindëshes “por jo si “një presje zero tre “).

Tema e tretë në lemin Mendimi për numrat është gjithashtu me rëndësi të madhe. Në këtë standard dhe katër nënstandardet e tij është përmbajtja e përdorimit të algoritmeve standarde për mbledhje, zbritje dhe shumëzimin e numrave shumshifror si dhe algoritmit standard për pjestim e numrave shumshifrore me njëshifror. Si me aritmetikën e thjesht, pajtuesjmëri me këto shkathtësive këkon ushtrime intenzive në paraqitjen e disa klasave të ardhshme !

Theksi tek standardi 4BS.3.1 formalisht është e dhënë (matematikisht) kuptimin e algoritmeve për mbledhjen dhe zbritjen e numrave të plotë. Vecanerishtë e rëndësishme për studentët është ligji komutativ dhe asociative për mbledhje gjatë sqarimit të këtyre algoritmeve. Shumë me rëndësi është studentët ti kenë përfituar shkathtësit mekanike nq lidhje me këto algoritme. Nëse ata janë të pasigurtë në mekaniken e këtyre algoritmeve, mendimet e tyre do të jenë të preokupuara me manipulimet, në vendë që ta çmojnë mendimin mbas manipulimeve.

 SHKALLA 5

Shënim: 5KN.1.2 Të kuptojnë përqindjes si pjesë e njëqindës, gjetjen e numrave dhjetorë dhe ekuivalencen e përqindjes të thyesave të rëndomta dhe sqarimin pse ato paraqesin vlera të njejta; njësimi i përqindjes së dhënë të numrit të plotë. Fakti që thyesa c/d paraqet “c pjesa e tërsis e përbër prej d pjesëve të njejta” dhe “sasia e numrit c e ndarë me numrin d “ishte për herë të parë e përmendur në standardin 4KN.1.5 në klasen e 4. Siç ështe esqaruar në klasen e 4, ky faktë duhet me kujdes të sqarohet, por jo vetëm të deklarohet siç është e rendomt në shumë libra shkollore. Rëndësia e prezentimit dhe e sqarim logjikë për gjithë aspektet e të mësuarit për thyesat nuk duhet të jete treguar shumë, sepse friga e nxënseve ndaj thyesave dhe gabimet lidhur me ta do të bijnë në joplotsimin në arsimin matematikor. Deri sa është e qartë c/d paraqet pjestimin e c me d, atëher konverzija e thyesave në numra dhjetorë mund logjikisht të sqarohet.

Studentët gjithashtu vazhdojn të mësojn për pozicionin relative të numrave në boshtin numerik, veçanerisht për numrat e plotë negativë. Numrat e plotë negativë janë veçanerisht të rëndësishëm sepse në fillim ata paraqesin pjesën kryesore për esencës e sqarimit të mendimit për numrat. Ne këtë shikim veçanarisht është e rëndësishme standardi 5KN.1.5.

5KN.1.5 Njofjen dhe vendosjen e decimaleve, thyesat, numrat perzier, numrave e plotë pozitiv dhe negative të bushtit numerik. Paraqitja e drejt e thyesave pozitive në bushtin numerik tregon që nxënsit duhet të dijn ti rradhitin dhe ti klsifikojn thyesat. Identifikimi i numrave si pika në boshtin real paraqet hap të rëndësishëm për studentet gjatë lidhjes se koncepteve në aritmetik dhe gjeometri. Ky bashkim i aritmetikes dhe gjeometris është më shumë e paraqitur në matematikë dhe ju jep dimenzion te ri studentëve për kuptimin e numrave. Sepse shpeshher numrat e perzier paraqesin probleme serioze për studentët, duhet me kujdes të përpunohet ky standard. Si fillim studentët nuk duhet ti ndajn shprehjet në të “drejta “dhe “jo të drejta “thyesa si objekte të ndryshme, por ata duhet të kuptojn që ata nuk paraqesin kur gjë me tepër prej shembujve të ndryshëm në concept të njejtë – emërtimi thyesave. Rradhitja e thyesave si pika në boshtin numerikë (ashtu që një pikë nuk është e ndryshme prej ndonjë pike tjetër) do të merë më shumë kohë duke parë ate është e duhur të eleminohen shume këto gabime. Me këtë ne mendojmë se, tashë arsimtari mund të mendoje për thyesat “jo të drejta “egziston altenative e paraqitjes.

Për shembull, në boshtin mumerik 5/4 dhe pastaj 1 për vlerën ¼ ashtu që 1 ¼ paraqet shënimin alternative të kuptueshëm. Njejtë 1 1/3 në boshtin mumerikë është për 2/3 pastaj edhe 3 2/3 gjithashtu paraqet shënimin alternative të kuptueshem.

Kur thyesa 5/4 ose 11/3 e shkruar si 1 ¼ ose 3 2/3, mund të tregohet që paraqet numrin e përzier. Kryesisht, nxënsi në klasë 5 duhet të jenë të pregatitur për sqarim të përgjithshëm në atë si paraqitje të thyesa jo të drejta si numër i përzier, nëpër mes pjestimit me mbetje, gjërsa e paramendojm që a/b është thyesa jo e drejtë atëher ne mund të shkruajm si numera të përzier në këtë mënyrë.Pjestimi i numrit të plotë a me numrin e plotë b është shprehur si a = qb + r, ku q është sasia, kurse mbetja r është numëri i plotë 0 ≤ r < b. Atëher thyesa a/b sipas definicionit është e shkruar si numer përzier ashtu që q r/b. Të vërejmë që r/b është thyes e drejt.Me rëndësi është të tregohet që numri i përzier paraqet vetem njëlloj mënyre të paraqitjes së thyesave dhe rrethë saj nuk duhet të egzistoj frigë. Gjithashtu mjaft e rëndësishem aspekti në punën e studentëve me numra negative është që ti mësojn rregullat për zgjidhjen e opercioneve aritmetike themelore me ata, sic është treguar në stanadardin e ardhshëm.

5KN.2.1 Mbledhja, zbritja, shumzimi dhe pjestimi i numrave dhjetorë, mbledhjen e numrave të plotë negativë, zbritjen e numrave të plotë pozitiv prej numrit të plotë negativë dhe korigjimi i rezultateve të sakata. Në klasen e 5, studentët mësojn si ti mbledhin numrat negative. Në këtë kontekstë nxënsit duhet të tregojn interes për paraqitjen gjeometrike te ketij konteksti. Gjatë mbledhjes së numrit pozitiv b pika në boshtit numerikë paraqitet në të djathtë për njësin b dhe kështu me rradhë. Shumzimi dhe pjestimi i numrave negative nuk është marë parasysh në klasën e 5, sepse pjestimi i numrave negativë çon tek thyesat negative, të cilat ende nuk janë dhënë. Edhe pse standardi 5KN.2.1 është përmendur para standardeve 5KN.2.3 dhe 5KN.2.4 për mbledhje dhe zbritje e thyesave, të mësuarit e numrave dhjetorë duhet të jetë në konceptë të thyesave dhe operacionet aritmetike të tyre. Formalishtë në e definojmë që numri i fundit dhjetorë është thyesa e cila është 10 n për çdo numër natyror n. Pa këtë definicion të sqarimi do të ishte më i rëndë sepse mbledhja dhe zbritje e numrave dhjetorë në mbledhjen dhe zbritjen e numrave të plotë, ashtu që më vonë këto algoritme mund të jenë primare. Në kontekst të kësaj, pa këtë definicion të sakt, paraqitja do të ishte e pamundëshme që të sqarohet rregulla për presjen e dhjetore gjatë shumzimit dhe pjestimit të numrave dhjetorë. Për shembull 2, 4 x 0,37 mund të zgjidhet si 24 x 37 = 888. dhe pse ka gjithsej tre vende decimale, rregulla e rëndomt tregon 2, 4 x 0,37= 0, 888.

Shkaku, është i bazuar në definicione të sakta për numrat dhjetorë dhe sipas kësaj definicionit: 2, 4 = 24/10 dhe 0,37 = 37/100 ashtu që 2, 4 x 0,37 = (24/10 x 37/100) = ( 24 x 37)/1000 = 888/1000 = 0, 888. Në shumë libra operacionet aritmetike me numrat dhjetorë gjenden para diskutimit për thyesat dhe në përgjithesi nuk perzihen me definicionin për numrat dhjetorë. Kjo paraqet rëndësi të madhe për arsimtarin. Hyrje në algoritmin e përgjithshëm për pjestim gjithashtu është me rëndësi, por mund të jetë i komplikuar dhe sipas kësaj rëndë është për ta fituar studentët. Veçanarisht, aftësinë e nevojshëm për gjetjen e prodhimit më të madhë të pjestuesit me numër të plotë në mes 0 dhe 9, që është më i vogel së mbetja, paraqet vështirsi të madhe për nxënsit e klasës së 5. Studentët i shfrytëzojn algoritmet për raste të caktuara të kujdesshem në të cilën numrat e nevojshëm gjatë çdo hapi janë të qartë. Paraqitja e këtij problemi në këtë kontekstë mund të jetë në ndihmë. Për shembull studentët mund të paramendojn pjestimin e 153 me 25 si pjestim 153 studentëve në disa autobus, prej ku secili mund të përmbaj nga 25 udhëtarë. Paraqitja në figurë mund tu ndihmojë studentëve të shohin që janë të nevojshm gjasht autobus ashtu që mbesin vetëm edhe tre student në autobusin e shtatë. Me gjithëate nuk është e nevojshme, as e logjikshme për tu përhapur këto koncepte. stanadard i rëndësishëm për studentët është i ardheshmi:

5KN.2.2 Paraqitjen e ushtrimit me pjestim, pjestimin e numrave dhjetorë të plotë dhe pjestimi i gjatë me pjestues shumëshifror. Shkathtësit më kryesore në mendimin për numrat që studentët duhet ti mësojn në klasën e 5 janë mbledhja dhe zbritje e thyesave (standard 2.3), dhe pjesërisht shumëzimi dhe pjestimi i thyesave (standardet 2.4 dhe 2.5). Në këtë kontekst të edukimit matematikor të studenteve, e domosdoshme është që ata ti njohin thyesat si numrat, të cilat jane në posit të njejt si numrat e plotë dhe ato mund të mblidhen, shumzohen dhe kështu me radhë. Me fjalë tjera paraqesin një koleksion pikash në boshtin numerik në të cilën janë të përfshirë numrat e plotë. Për shembull për mbledhjen a/b + c/d si model e shfrytëzojm mbledhjen e numrave të plotë. Sepse 3 + 8 paraqet gjatësin e prerjes të lidhur, ashtu që prerja me gjatesi 3 është e lidhur me prerjen me gjatësin 8, në e definojm a/b + c/d gjithashtu të jetë gjatësia e prerjes së lidhur, kur prereja me gjatësi a/b është lidhur me prerjen me gjatësin c/d. Zgjidhja e kësaj gjatësie të lidhur është e komplikura prej faktit që b mund të jetë e ndryshme prej d. Por koncepti për thyeasat ekujvalente tregon si mund dy thyesa të kenë emërues të njejtë, emëruesi a/b = a d/bd dhe c/d = bc/bd.

D.m.th nëse mendojmë që 1/bd është njësia themelore, atëher a/b paraqet ad kopjen e asaj njësie. Me mbledhjene e tyre tregohet që a/b + c/d është ad + bc dhe paraqet kopje e asaj njësie. Kjo është menyra e thjesht për tu fituar formula për mbledhjen e thyesave. Por duhet të tregohet që kjo formule nuk paraqet definincionin për mbledhjen e thyesave e cila është e modeluar pasë mbledhjes së numrave të plotë.

Mbledhje e dhënë e thyesave duhet të sqarohet në forma të shumëzuesit më të vogel të përbashkët të emruesve.

Gjerë sa studentët i mësojn këto shkathtësi elementare me thyesat, mëtutje problemi i përdorimin konkretë të tyre mund të shfrytezohet për përfitimin e përvojes dhe për përfitimin e aftësive teknike të nxënsit me thyesat. Gjatë zgjidhjes se thyeasve janë përfshirë dy shkathtësi kryesore: zbërthimin e numrave të plotë me qellim të paraqitjes të thyesav në formë të redukuara dhe kuptimin e shakthtësive elementare në aritmetikën e zberthimit. Dy standarde që duhet të tregohen janë:

5KN.1.4 Gjetjen e shumzuesve të thjeshtë për gjithë numrat gjer më 50 dhe shkruarjen e numrave si prodhim të shumzuesve të thjeshtë të tyre me përdorimin e eksponentave që i tregojn shumzimin dhe shumzuesin (shembulli 24 = 2 x 2 x 2 x 3 = 2 3 x3).

5KN.2.3 Zgjidhjen e problemeve të thjeshta, përfshi edhe problemet nga jeta e përditëshme, me mbledhje dhe zbritje e thyesave dhe numrve të përzier (me emrues të përbashkëtte ose të ndryshem gjer më 20 ose më të vogel) dhe shprehja e përgjigjeve në forma të thjeshta.

Mënyra e të mësuarit të thyesave, që paraqitet më vonë në këtë kapitull, jep shumë idea se si të hyhet te kjo temë. Studentët mund të kenë dobi për përdorimin e “sita e Eratoshense” për standardin 5KN.1.4. Standardi 5KN 2.4 e përfshin shumzim dhe pjestim i thyesave. Kjo është tema që do të jetë seriozisht e përpunuar në klasën e 6, por në këtë kontkst me rëndësi është studentëve tu kujtohet pjestimit në mes numrave të plotë, si alternativë mënyre për përshkrim të 28:7=4 ose në përgjithësi nëse a x b = c, atëher ne shkruajm c: b = a. Me ushtrime, studentët mund të përgatiten ta përdorin idenë për “pjestimi si shprehje inverze të shumëzimit”. Deri sa një her e kuptojnë këtë ide, ata do të jenë të prëgatitur për situata adekvate me thyesat ashtu që nëse a, b dhe c janë thyesa atëher – përsëri sipas definicionit a x b = c është gjithashtu dhe c: b = a.

SHKALLA 6

Vërejtje: Më shumë standarde nga lemia Mendimi për numrat për klasën e 6 janë mjaftë të rëndësishëm. Këto standarde mund të jenë ndarë në katër grupe. E para është ndarja dhe krahasim i thyesave pozitive dhe negative (shembull numrat racional), numrave dhjetorë ose numrave të përzier dhe pozicioni i tyre në boshtin numerikë.

6KN.1.1 Krahasimi dhe rrënditja e thyesave pozitive dhe negative, numrave dhjetorë dhe numrave të përzier dhe vendosjen e tyre ne boshtin numerikë.

Krahasimi e thyesave më mirë bëhet nëpërmjet përdorimit të algoritmeve për shumzim të kryqëzuar që tregon se a/b = c/d është e sakt kur a d = b c dhe a/b < c/d e saktë është kur ad < bc. Studentët duhet jo shpesh ti përdorin këto algoritme por gjithashtu të kuptojn pse janë të sakta. Shkaku për këtë prap është bazuar në faktin që cilët do dy thyesa mundë të përshkruhen si dy thyesa me emerues të njejt. Për këtë a/b dhe c/d mund të shkruhen si ad/bd dhe bc/bd. Algoritmi për shumzim të kryqëzuar tash mbetet sy shifur. Me rëndësi të veçant është të kuptojn studentët për pozicionet e numrave negative dhe efektit gjeometrik të numrave në boshtin numerikër kur numri është mbledhur ose zbritur prej tij.

Grupa e dyte e standardeve është paraqitur me tre standarde të rradhitur, kurse çdo kush prej tyre sillet ne raport me përqindjen.

6KN.1.2 Paraqitja dhe përdorimi i mardhënieve në kontekste të ndryshme (për shembull Gjetja e vlerave mesatare, kilometer në orë) për tu treguar madhësit relative nëpërmjet dy sasive për përdorimin e shënimeve adekuate (thyesa: “a/b”, me fjalë: “a ndaj b, “a deri b” ose si mardhënije: “a:b “)

6KN.1.3 Përdorimin e proporcioneve gjatë zgjidhjes së problemeve (shembull. Rradhitjen e vlerave në N si 5/7 = N/21, caktimin e gjatësis nga ana prej poligoni të njejtë në poligon të njohur). Përdorimin e shumzimit të kryqëzuar si metode për zgjidhjen e këtyre problemeve, dhe kuptimine tyre si shumzim në dy anët e barazimit me përdorimin e shumzimit inverz.

6KN.1.4 Caktimi i përqindjes së dhënë dhe zgjidhjen e problemeve gjat shitjes me lirim, fitim dhe dhurat.

Me rëndësi ështe të vërehet që nëse standardi 6KN.1.2 dhe 6KN.1.3 gjendet para standardit 6KN.2.1 ato duhet të mësohen gjerë sa studentët do të dijnë krejt për standardin 6KN.2.1, ashtu që gjer sa ata do të kenë të mësuar shumzimin dhe pjestimin me thyesa (për shëmbull në standardin 6KN.1.3 direkt përdoret rregulla” shumzim inverz “si mënyrë për shprehje). Gjer sa kjo do të bëhet atëher raport mundë të definohet si pjestim e një numri me tjetër, për shëmbull raport në kilometrat e udhtuar për një orë të kaluar (kilomtre në orë), raport e masës së dy thesëve me patate (X kg kompira/2 thesë) dhe kështu me radhë. Në standardin 6KN.1.4 arsimtari duhet që studentëve saktësishtë t'ua sqaroj pse është shfrytëzuar koncepti i përqindjes: e standardizon sipas madhësis dhe në shumë raste e lehtëson zgjidhjen. Për shëmbull, mund të vij deri te çudia kur tatimi në një shtetë është 17/200 kurse në të tjetrën 4/45. Cili shtetë ka tatim më të madhë? Nëse pajtohena të shprehim tatimin në përqindje, dy shtetet i kanë të normalizuara tatimet e tyre në 8, 5% dhe 8, 9% (Aproksimativ), në rregull. Atëher lehtë mundë të thuhet që shteti i dytë ka tatim më të larta. Kuptohe, paraqitja në përqindje e bën zgjidhjen relative më të leht: 8, 5 % tatimi i artiklave prej 25, 50 euro është 25, 50 x 0, 085 = 2,17 euro.

Grupi i tret i përfshin gjithë standardet e mbetuar për Mendimin e numrave lidhur me thyesat:

6KN.2.0 Studentët njësojnë dhe zgjidhin probleme me mbledhje, zbritje, shumzim dhe pjestim. Sepse egziston dyshim i vogël në mënyrën e paraqitjes së këtyre standardeve, duhet qart të tregohet se ky standardë është lidhur me katër operacionet aritmetike të thyesave pozitive, si dhe me numrave të plot negative dhe pozitive. Operacionet aritmetike të numrave racional gjegjësisht të thyesave pozitive dhe negative janë të lënë për klasën e 7.

Sepse mbledhja dhe zbritja e thyesave mësohet në klasën e 5 (standard 5KN.2.3) theksi kryesor në standardet 6KN.2.1dhe 6KN.2.2 është dhënë në shumzimin dhe pjestimin e thyesave pozitive. Gabimi më i shpesh paraqet gjat shkrusrjes së formulës a/b x c/d = a c/b d pa sqarim të mëparshëm të njohuris së prodhimit të thyesave a/b x c/d. Ky prodhim mund të definohet si sipërfaqe e këndëdrejtit me gjatësi të brinjëbe a/b dhe c/d (kuptohet në katror të veçant me sipërfaqe 1) ose si thyesa tek e cila pjesët prej c/d kur c/d e ndarë në pjes të njejta b. Dy interpretimet janë shfrytëzuar gjatë zgjidhjes së problemeve dhe për këtë duhet të sqararim të kujdesshëm. Prej rrjedhës së standardit 5KN.2.4 në klasën e 5, pjestimi i thyesave tash është i qartë: shpreja a/b: c/d =m/n ka njohuri të njejtë si dhe a/b = m/nx c/d. Prej standardit 4AF.2.2 (algjebra dhe funkcionet), studentët e dijn që barazimi do mbetet i njejtë nëse dy anët shumzohen me d/c dhe për këtë a/b x d/c = m/n x c/d x d/c. Në rregullën për “shumzim inverz “gjatë pjestimit të thyesave tregohet që është valid.

Standardi 6KN.2.1 sillet redh zgjidhjes së problemit në të ciliën përdoren shumzim dhe pjestim i thyesave. Veçanërisht me rëndësi është që studentët e dijn pse përdoret rregulla “këthe dhe shumëzo “(shumzim inverz) është i mjaftueshem për këto detyra.

Në diskutim për klasën e 5 ishte përmendur që koncepti i shumëzuesit më të vogël të përbashkët luan rol në të mësuarit e thyesave.

 .

SHKALLA 7

Comments: The first basic standard for the Number Sense strand is:

7KN.1.2 Add, subtract, multiply, and divide rational numbers (integers, fractions, and terminating decimals) and take positive rational numbers to whole-number powers. At this point the students should understand arithmetic involving rational numbers. Negative fractions are formally introduced and studied for the first time. They should know the difference between rational and irrational numbers (Standard 7KN.1.4) and be aware that numbers such as the square root of two are not rational. Here, teachers should take care not to misinform the students. For example, some textbooks assert that the square root of 2 is not a rational number and then “prove” that assertion by producing a calculator-generated representation of to perhaps 15 decimal places and state that the decimal is not repeating. That is unacceptable. It is better to use the facts in the standard (Standard 1.5) to construct an explicit nonrepeating decimal:

7KN.1.5 Know that every rational number is either a terminating or a repeating decimal and be able to convert terminating decimals into reduced fractions. One can construct a nonrepeating decimal, for example, by putting zeros in all the places past the decimal point except for putting ones in (1) the first, second, fourth, and eighth places and generally the places marked by each power of 2:  .110100010000000100000000000000010000...  or perhaps (2) the first, third, sixth, tenth, and generally, the places marked by n(n+1)/2: 0.101001000100001000001000000100....   In this way students will see how to construct vast quantities of irrational numbers. At this point it might be possible to challenge the advanced students by showing them that a specific number (such as) is, in fact, irrational. They then can learn that while there are vast quantities of both rational and irrational numbers, it is often very difficult to show that specific numbers are in one set or the other. But this sophisticated material should not be emphasized for the class as a whole. In particular, at this stage it is probably not wise to attempt any kind of a proof of the facts in Standard 7KN.1.5. The students can be told that this basic awareness of irrationality is sufficiently important to be discussed at this point even though its justification will have to be deferred until they take a more advanced course.

By now the students should have enough skill with factoring integers so that they can use factoring to find the smallest common multiple of two whole numbers (Standard 7KN.2.2). Teachers should emphasize, once again, that the correct definition of the sum of two fractions is (a/b) + (c/d) = (ad + bc)/bd and that the usual algorithm using factoring to find the smallest common denominator is but a refinement of the primary definition. (See the discussion in the Number Sense standards for the fifth grade.) For this topic students should become more familiar with the basic exponent rules (Standard 7KN.2.3), which will have direct applications in the main seventh grade application of compound interest.

The last topic in the first standard of the Number Sense strand (Standard 7KN.1.7) is also one of the high points of the entire strand:

7KN.1.7 Solve problems that involve discounts, markups, commissions, and profit and compute simple and compound interest. This is a major topic, which should come toward the end of the year and should be a major highlight of the kindergarten through grade seven mathematical experience. It provides one of the most important applications of mathematics in students’ everyday life, a skill that can mean the difference between students managing their money and other resources well or not at all. Standard

7KN.2.5, the last standard in the Number Sense strand, on absolute value should receive some emphasis. This topic is usually slighted in middle schools and high schools; however, students should acquire some facility with this concept as early as possible. The students need to understand that the correct way to express the statement “two numbers x and y are close to each other” is “|x–y| is small.” The concept of two numbers being “close” was introduced in grade four in connection with rounding off (see “Elaboration” in grade four).