ОДДЕЛЕНИЕ 1

1АФ.1.0 Студентите применуваат бројни искази со операциони симболи и изрази за да ги решат проблемите. 1АФ.1.1 Поставување и решавање на бројни искази од проблеми кои содржат зависности со собирање и одземање. 1АФ.1.2 Разбирање на значењето на симболите  +,  -,  =. 1АФ.1.3 Формирање на проблеми со бројни искази со собирање и одземање.

ОДДЕЛЕНИЕ 2

2АФ.1.0 Студентите моделираат, претставуваат и разработуваат бројни зависности за поставување и решавање на проблеми со собирање и одземање. 2АФ.1.1 Користење на правилата за комутативност и асоцијативност, за упрстување на пресметките и проверка на резултатите. 2АФ.1.2 Поврзување на проблемите со бројни искази со собирање и одземање. 2АФ.1.3 Решавање на проблеми со собирање и одземање користејќи податоци од табели, едноставни графици и бројни равенства.

Забелешки: Во алгебрата и функциите, следните правила претставуваат основна карактеристика на инструкциите за математика за одделение 2:

2АФ.1.1 Користење на правилата за комутативност и асоцијативност, за упростување на пресметките и проверка на резултатите. Меѓутоа тука треба да се нагласи примената на овие правила за упростување; на пример, знаејќи дека 5 + 8 = 13 го ослободува студентот од учењето дека 8 + 5 = 13. Учењето на терминологијата нема толку големо значење.Студентите треба да го ценат значењето на комбинирање на правилата, но без пренагласување, затоа што потенцирањето на софистицираниот концепт на правилото за асоцијативност вероватно е полошо отколку воопшто тоа да не се спомене.

ОДДЕЛЕНИЕ 3

3АФ.1.0 Студентите избираат соодветни симболи, операции и особини за да претстават, опишат, поедностават и решат едноставни бројни зависности: 3АФ.1.1 Претставување на меѓусебната зависност на големините во форма на математички изрази, равенки или неравенки. 3АФ.1.2 Решавање на проблеми претставени со нумерички равенки или неравенки. 3АФ.1.3 Избирање на соодветни операциони или релациони симболи за да се добие точен израз (пр. ако е 4 _ 3 = 12 кој операционен симбол треба да се постави во празното поле?). 3АФ.1.4 Претставување на едноставни претварања на единици во симболична форма (пр. _ cm = _ dm x 10). 3АФ.1.5 Препознавање и примена на комутативниот и асоцијативниот закон при множењето ( пр. ако е 5 х 7 = 35, тогаш колку е 7 х 5 и ако е 5 х 7 х 3 = 105, тогаш колку е 7 х 3 х 5?). 3АФ.2.0 Студентите прикажуваат едноставни функционални зависности: 3АФ.2.1 Решавање на едноставни проблеми кои содржат функционални зависности помеѓу две големини (пр. пресметување на вкупната цена на повеќе компоненти доколку е дадена цената на една компонента). 3АФ.2.2 Проширување и препознавање на линеарна зависност и нејзините правила (пр. бројот на нозе на одреден број на коњи може да биде пресметан со собирање со 4 или со множење на бројот на коњи со 4 ).

Забелешки: Во оделение 3 се зголемува значењето на алгебрата и функциите.

3АФ.1.1 Претставување на меѓусебната зависност на големините во форма на математички изрази, равенки или неравенки. Бидејќи разбирањето на овие концепти може да биде тежок чекор за студентите, инструкциите мора да бидат презентирани внимателно и потребно е да бидат дадени повеќе примери: 3 х 10 cm за 3 dm, 4 х 11 нозе за 11 мачки, 2 х 15 тркала за 15 велосипеди, 3 х 15 тркала за 15 трицикли, бројот на студенти во училницата е <50, бројот на денови во годината е > 300 и т.н.

Наредните три стандарди претставуваат проширување на првиот и даваат примери за тоа што се подразбира под "претставува зависност на ...." . Наставниците мора да бидат сигурни дека студентите ги знаат правилата за комутативност и асоцијативност при множењето како механизми за поедноставување и како средства за избегнување на пренагласено меморирање на формули без нивно разбирање. Вториот стандард исто така е важен, поради што мора да биде разгледан внимателно.

3АФ.2.1 Решавање на едноставни проблеми кои содржат функционални зависности помеѓу две големини (пр. пресметување на вкупната цена на повеќе компоненти доколку е дадена цената на една компонента).

ОДДЕЛЕНИЕ 4

4АФ.1.0 Студентите применуваат и интерпретираат променливи, математички симболи и особини за да ги постават и поедностават изразите и исказите: 4АФ.1.1 Користење на букви или други симболи како замена за броевите во едноставни изрази или равенки (т.е. разбирање и примена на концептот за променлива големина). 4АФ.1.2 Претставување и пресметување на математички изрази кои содржат загради. 4АФ.1.3 Користење на загради за да се покаже која операција треба да се изврши прва при пишување на изрази кои содржат повеќе од два членови и различни операции. 4АФ.1.4 Користење и претставување на формули ( т.е. површина = должина х ширина или A= a x b) за да се одговорат прашањата за големините и нивните зависности. 4АФ.1.5 Разбирање дека равенка од облик y = 3x + 5 претставува пропис за одредување на вториот број кога е даден првиот број. 4АФ.2.0 Студентите знаат како да работат со равенки: 4АФ.2.1 Сознавање и разбирање дека со додавање на еднакви членови од двете страни на равенството, еднаквоста не се менува. 4АФ.2.2 Сознавање и разбирање дека со множење на еднакви членови од двете страни на равенството, еднаквоста не се менува.

Забелешки:Во оделение 4 значењето на алгебрата и функциите продолжува да се зголемува . Сите пет поднаслови од првиот стандард се важни. Следните стандарди не е потребно посебно да се нагласуваат:

4АФ.1.2 Претставување и пресметување на математички изрази кои содржат загради.

4АФ.1.3 Користење на загради за да се покаже која операција треба да се изврши прва при пишување на изрази кои содржат повеќе од два членови и различни операции. Овие стандарди не претставуваат ништо повеќе отколку нотација. Суштината е да се научи како да се поставуваат изразите недвосмислено, за да можат да ги разберат и другите. Поради тоа потребно е внимателно да им се објасни на студентите зошто комутативниот и асоцијативниот закон се значајни и зошто произволните суми или производи како 115 + 6 + ( - 6 ) + 4792 или 113 х 212 х 31 х 11 не треба да бидат подредени на некој посебен начин, ниту да бидат пресметани по некој одреден редослед.

Стандардите 4АФ.1.4 и 4АФ.1.5 кои се однесуваат на функционалните зависности, се многу поважни од теоретски аспект. Посебно, студентите треба да го разберат стандардот 4АФ.1.5 затоа што им го разјаснува решавањето на равенките.

4АФ.1.5 Разбирање дека равенка од облик y = 3x + 5 претставува пропис за одредување на вториот број кога е даден првиот број. Еден начин за разбирање на равенка како што е y = 3x + 5 е преку работење со голем број на парови на броеви (x, y) за да се види дали тие ја задоволуваат равенката. На пример, (1, 8) и (0, 5) одговараат, а (-1, 3) и (2, 10) не. Поради тоа второто правило во Алгебрата е основно:

4АФ.2.0 Студентите знаат како да работат со равенки. Овој стандард и двете основни правила кои следат, доколку се разберат сега, многу разјаснуваат што се случува во математиката и другите предмети од оделение 5 па се до факултет.

4АФ.2.1 Сознавање и разбирање дека со додавање на еднакви членови од двете страни на равенството, еднаквоста не се менува. Бидејќи 2 + 1 = 3, и 7 - 2 = 5, тогаш 2 + 1 + 5 = 3 + 7 - 2

4АФ.2.2 Сознавање и разбирање дека со множење на еднакви членови од двете страни на равенството, еднаквоста не се менува. Бидејќи 2 + 1 = 3, и 4 х 5 = 20, тогаш (2 + 1) х 20 = 3 х (4 х 5). Доколку овие концепти не се јасни, во повисоките одделинија ќе произлезат потешкотии. Затоа е потребно внимателно да се провери разбирањето на овие принципи кај студентите.

ОДДЕЛЕНИЕ 5

5АФ.1.0 Студентите во едноставните изрази применуваат променливи, ја пресметуваат вредноста на изразот за карактеристични вредности на променливите и ги цртаат и презентираат резултатите: 5АФ.1.1 Користење на информации од графици или равенки за да се добие одговор на проблемот. 5АФ.1.2 Користење на буква за да се претстави непознат број, поставување и решавање на едноставни алгебарски изрази со една променлива со заменување. 5АФ.1.3 Учење и користење на дистрибутивното правило во равенките и изразите со променливи. 5АФ.1.4 Определување и графичко претставување на подредените парови во четирите квадранти од координатниот систем. 5АФ.1.5 Решавање на проблеми кои содржат линеарни функции со целобројни (интеџер) вредности, пишување на равенките и графичко претставување на добиените подредени целобројни парови во рамнината.

Забелешки:

Стандардите за Алгебра и Функции за одделение 5 претставуваат еден од клучните чекори за апстрахирање и се еден од дефинирачките чекори за преминот од едноставно учење на аритметика кон учење на математика, т.е. заменување на броевите со променливи големини.

5АФ.1.2 Користење на буква за да се претстави непознат број, поставување и решавање на едноставни алгебарски изрази со една променлива со заменување. Важноста на овој чекор, кој бара размислување, а не само манипулативна способност, бара посбна грижа при презентирањето на материјалот. Основната идеја за ова, т.е. дека на пример 3х + 5 претставува скратена нотација за бескраен број на суми: 3(1) + 5; 3(2) + 5; 3(11) + 5; и т.н. мора да биде детално претставена и разбрана од студентите и тие мораат да вежбаат решавање на едноставни алгебарски изрази. Сепак со вежбањето не треба да се претерува. Поважно е наставниците да го проверуваат разбирањето на концепцијата од страна на студентите, на пример преку некои едноставни проблеми тие да стекнат искуство за пишување на равенки со една непозната, преку проблеми од секојдневниот живот. Повторно да споменеме дека во Алгебрата иФункциите следните два стандарди се основни:

5АФ.1.4 Определување и графичко претставување на подредените парови во четирите квадранти од координатниот систем.

5АФ.1.5 Решавање на проблеми кои содржат линеарни функции со целобројни (интеџер) вредности, пишување на равенките и графичко претставување на добиените подредени целобројни парови во рамнината.

ОДДЕЛЕНИЕ 6

6АФ.1.0 Студентите пишуваат вербални изрази и искази како алгебарски искази и равенки, ги пресметуваат алгебарските изрази, решаваат едноставни линеарни равенки и графички ги претставуваат и интерпретираат нивните резултати: 6АФ.1.1 Пишување и решавање на линеарни равенки од прв степен, со една променлива. 6АФ.1.2 Пишување и пресметување на алгебарски изрази за дадена ситуација, користејќи до три променливи. 6АФ.1.3 Применување на алгебарскиот редослед на операции, како и комутативниот, асоцијативниот и дистрибутивниот закон при пресметување на изразите; образложувајќи го секој чекор во процесот. 6АФ.1.4 Решавање на проблемите применувајќи правилен редослед на операциите, рачно или користејќи научен дигитрон. 6АФ.2.0 Студентите анализираат и применуваат табели, графици и правила за да ги решат проблемите што содржат мерки и пропрции: 6АФ.2.1 Претворање на една мерна единица во друга (пр. од десиметри во километри, од сантиметри во инчи и т.н.). 6АФ.2.2 Објаснување дека мерка е единична мерна единица на една големина врз единична мерна единица на друга големина. 6АФ.2.3 Решавање на проблеми со мерки, средна брзина, растојание и време. 6АФ.3.0 Студентите ги проучуваат геометриските законитости и ги претставуваат алгебарски: 6АФ.3.1 Користење на променливи во изразите за да се претстават геометриските големини (пр. P = 2a + 2b, A = ah/2, C =pd се формулите за обем на правоаголник, површина на триаголник и обем на круг). 6АФ.3.2 Изразување во симболична форма едноставни зависности кои произлегуваат од геометријата.

Забелешки:Во Алгебрата и Функциите, важни стандарди се 6АФ.1.1 и 6АФ.2.2. Наредниот стандард е проширување на дискусијата за линеарните равенки, која започна во одделение 5.

6АФ.2.1 Пишување и решавање на линеарниравенки од прв степен, со една променлива. Студентите во одделение 6 се способни да ги разберат и решат едноставните равенки со една непозната, кои се особено важни во сите области каде се користи математиката. Во повисоките оделенија студентите ќе биде потребно да решаваат системи од линеарни равенки. Во одделение 6 студентите треба да се способни да го образложат секој чекор во пресметувањето на линеарни равенки како што е наведено во стандардот 1АФ.1.3 (Алгебра и Функции). Оваа вештина е од особено значење за развивање на алгебарско размислување и примена на логика при секој чекор од процесот. Стандардот 1АФ.1.1 е тесно поврзан со стандардите за мерки и проценти во темата Смисла за Броеви (Стандарди 1АФ.1.2 и 1АФ.1.4).

6АФ.2.2 Објаснување дека мерка е единична мерна единица на една големина врз единична мерна единица на друга големина. Стандардот 2.2 ја нагласува важноста за разбирање на значењето на концептите за мерка и односи. Мерките и односите само се различно толкување во различен контекст за делење на еден број со друг.Овој стандард исто така е тесно поврзан со проблемите со мерки, средна брзина, растојание и време кои се воведени во Стандардот 2.3.

ОДДЕЛЕНИЕ 7

7АФ.1.0 Студентите изразуваат квантитативни зависности со примена на алгебарска терминологија, изрази, равенки, неравенки и графици 7АФ.1.1 Користење на променливи и соодветни операции за да се напишат изрази, равенки, неравенки или систем од равенки или неравенки, кои прикажуваат вербален опис (за три помало од бројот, половина е големо како површината А ). 7АФ.1.2 Користење на правилен редослед на операциите при пресметување на алгебарски изрази како што се 3(2х + 5)2. 7АФ.1.3 Поедноставување на нумеричките изрази со примена на особините на рационалните броеви (пр. идентичност, инверзност, дистрибутивност, асоцијативност, комутативност) оправдувајќи го применетиот процес. 7АФ.1.4 Правилно користење на алгебарската терминологија (пр. променлива, равенка, термин, коефициент, неравенка, израз, константа). 7АФ.1.5 Графичко претставување на квантитативните зависности, со опишување на значењето на одреден дел од графикот, за ситуацијата презентирана со графикот. 7АФ.2.0 Студентите прикажуваат и пресметуваат изрази со целобројни експоненти и едноставни корени: 7АФ.2.1 Објаснување на позитивните целобројни експоненти како последователно множење, а негативните целобројни експоненти како последователно делење или множење со рециброчен (инверзен) множител. Поедноставување и решавање на изрази кои содржат експоненти. 7АФ.2.2 Множење и делење на мономи; се проширува процесот на степенување и пресметување на корени на мономи кога како резултат имаме моном со целоброен експонт. 7АФ.3.0 Студентите графички претставуваат и прикажуваат линеарни и некои нелинеарни функции: 7АФ.3.1 Графичко претставување на функции од облик у = n2 и y = n3 и нивно користење при решавање на проблеми. 7АФ.3.2 Внесување на вредности од волумените на тридимензионални форми за различни вредности на должините на рабовите (пр. коцки со различни должини на рабовите, или триаголна призма со фиксна висина а со ранострана триаголна основа, со променлива должина на страната. 7АФ.3.3 Цртање на линеарни функции, со нагласување дека вертикалната промена (промената во y- вредноста) по единица должина од хоризонталната промена (промена во x - вредноста) има секогаш иста вредност и дека овој однос ("издигање спрема издолжување" се вика наклон на графикот. 7АФ.3.4 Внесување на вредности на големини чии односи се секогаш исти (пр. односот помеѓу цената и бројот на предмети, метрите со сантиметрите, обемот на кругот со дијаметарот). Повлекување на линија низ внесените точки, за да се разбере дека наклонот на линијата е еднаков на односот на големините. 7АФ.4.0 Студентите решаваат едноставни линеарни равенки и неравенки со рационални броеви: 7АФ.4.1 Решавање на линеарни равенки од втор степен или неравенки со една променлива, со рационални броеви, објаснување на решението или решенијата во контекст на нивното добивање, како и проверка на разумноста на резултатите. 7АФ.4.2 Решавање на повеќечекорни проблеми со мерки, средна брзина, растојание и време или со дирекна пропорционалност.

Забелешки: Запознавањето со дистрибутивниот, асоцијативниот и комутативниот закон при собирање и множење на цели броеви беше споменувано во неколку точки во стандардите на Алгебрата и функциите за одделение 5 и 6. Во одделение 7 за овие стандарди се оди чекор понатака и тоа:

7АФ.1.3 Поедноставување на нумеричките изрази со примена на особините на рационалните броеви (пр. идентичност, инверзност, дистрибутивност, асоцијативност, комутативност) оправдувајќи го применетиот процес. Ова е критичен чекор при учењето како да се опише и прикаже важноста на апстрактното размислување, со цел да се стекне чуство за разбирање на комплексни ситуации и прикажување на нивните основни карактеристики. Една од основните теми во математичките апликации се системите на линеарни равенки. Јасното разбирање на едноставните системи од две линеарни равенки со две непознати е од особена важност за разбирање на посложените теми како што се на пример диференцијалното и интегралното сметање и анализата.

Првите главни чекори кон постигнување на оваа цел се направени кога во подолните четири стандарди е започнато со изучување на линеарните равенки.

7АФ.3.3 Цртање на линеарни функции, со нагласување дека вертикалната промена (промената во y- вредноста) по единица должина од хоризонталната промена (промена во x- вредноста) има секогаш иста вредност и дека овој однос ("издигање спрема издолжување" се вика наклон или градиент на графикот.

7АФ.3.4 Внесување на вредности на големини чии односи се секогаш исти (пр. односот помеѓу цената и бројот на предмети, метрите со сантиметрите, обемот на кругот со дијаметарот). Повлекување на линија низ внесените точки, за да се разбере дека наклонот на линијата е еднаков на односот на големините.

7АФ.4.1 Решавање на линеарни равенки од втор степен или неравенки со една променлива, со рационални броеви, објаснување на решението или решенијата во контекст на нивното добивање, како и проверка на разумноста на резултатите.

7АФ.4.2 Решавање на повеќечекорни проблеми со мерки, средна брзина, растојание и време или со дирекна пропорционалност.

Повторно мора да се укаже на поврзаноста на вториот стандард со Стандардот за Мерење и Геометрија 7АФ.1.3. Овие теми овозможуваат одлични проблеми за тестирање на студентите за нивното разбирање на техниките за решавање на линеарните равенки. Студентите со овој степен на познавање на Алгебрата треба да бидат способни да прават разлика помеѓу сличните концепти за мерка и дирекна пропорционалност. "Мерка е единична мерна единица на една големина врз единична мерна единица на друга големина". Мерките и односите само се различно толкување во различен контекст за делење на еден број со друг. Се посочува дека на ова ниво студентите знаат да делат само рационални броеви. Професорот треба да им укаже на студентите дека делењето на ирационални броеви ќе се изучува во понапредни курсеви, но дека дефиницијата за мерка и понатака ќе важи. Дирекната пропорционалност може да биде објаснета преку линеарните функции "А се менува дирекно со В" значи дека за фиксна константа с, "А = сВ". Наставниците и учебниците најчесто даваат неразбирливо објаснување за двата термини стварајќи забуна кај студентите, па дури и кај наставниците. Во крајна линија објаснување и не е потребно мерка и дирекна пропорционалност се математички термини, па тие ќе бидат јасно дефинирани кога студентот ќе ги научи неопходните факти и техники.