Мерење и геометријаОДДЕЛЕНИЕ 1
|
1МГ.1.0 Студентите користат непосредни компарации и нестандардни единици за да ги прикажат димензиите на објектите:
1МГ.2.3 Давање и следење на упаства за лоцирање.
|
Забелешки: нема
ОДДЕЛЕНИЕ 2
|
2МГ.1.0 Студентите знаат дека димензијата е определена со распознавање на мерната единица, со повторување на единиците и со нивно споредување со предметот што е измерен.
2МГ.2.0 Студентите ги распознаваат и опишуваат особините на општите фигури во рамнина и на општите фигури во простор:
|
Забелешки: Иако стандардот 2МГ.1.3 е важен, повеќе време треба да биде посветено на 2МГ.2.0.
2МГ.1.3 Мерење на должина на предмет до најблискиот сантиметар.
2МГ.2.0 Студентите ги распознаваат и опишуваат особините на општите фигури во рамнина и на општите фигури во простор. Бидејќи разбирањето на просторните релации ќе биде многу потешко само за некои студенти (особено концептите со тро-димензионални информации), наставниците треба да внимаваат и проценат колку добро студентите ги разбираат овие облици и фигури и нивните релации.
ОДДЕЛЕНИЕ 3
|
3МГ.1.0 Студентите избираат и користат соодветни единици и мерни алатки за да се квантифицираат особините на предметите:
3МГ.2.0 Студентите ги опишуваат и споредуваат особините на рамнински и просторни геометриски фигури, па нивното разбирање го користат за да прикажат релации и да решат задачи:
|
Забелешки: Во првaтa тема стандардите, 3МГ.1.2 и 3МГ.1.3 се најважни.
3МГ.1.2 Препознавање, опишување и класифицирање на многуаголници (со петтоаголници, шестоаголници и осумаголници).
3МГ.1.3 Пресметување на периметар на многуаголници чии страни се цели броеви. Додека не се дефинира површина на квадрат со страна 1, т.е. единечна површина не треба да се зборува за други површини бидејќи преку неа се пресметуваат сите површини. Оваа идеја често пати не е потенцирана во стандардните учебници. Постојано треба да се нагласуваат аналогиите помеѓу должини и површини. На пример, линиски елемент има должина 3 ако три пати може да се прекрие со едничниот линиски елемент. Исто така, правоаголник со страни 3 и 1 има површина 3, бидејќи може да биде прекриен со точно 3 површински единични елементи.
Во втората тема стандардите, 3МГ.2.1, 3МГ.2.2 и 3МГ.2.3 се најважни.
3МГ.2.1 Препознавање, опишување и класифицирање многуаголници (со петтоаголници, шестоаголници и осумаголници).
3МГ.2.2 Препознавање на особините на триаголниците (на пр. две еднакви страни кај рамнокрак триаголник, три еднакви страни кај рамностран триаголник, прав агол кај правоаголен триаголник).
3МГ.2.3 Препознавање на особините на четириаголниците (н пр. паралелни страни кај паралелограм, прави агли ка правоаголник, еднакви страни и прави агли кај квадратот). Сите овие стандарди можат да бидат тешки за совладување ако тие се прикажани премногу општо. За совладување на геометрија, главна потешкотија во сите нивоа е потребата од точни дефиниции за геометриските поими. Дури и во одделение 3, треба да се обработи дефиницијата за многуаголник, а која во учебниците вообичаено не е поддржана. Многуаголник може да се дефинира како конечен број на линиски сегменти чии краеви се поврзани, така што тие заедно формираат сложена граница на една рамниска област. Строго се препорачува учењето за ова ниво да биде ограничено на следните теми: определување на површина на правоаголници со целобројни должини на страните, правоаголни триаголници со целобројни должини на страните и фигури кои можат да бидат поделени на такви правоаголници и триаголници. Исто така ќе бидат дадени и примери каде што должините на страните не се цели броеви, но за овие примери потребно е да се прават само приближни пресметки. Она што се подразбира во Стандардите 3МГ.2.4 и3МГ.2.5 е воведување на концептот за агол, (но, не е потребно оваа тема да се нагласува сега).
ОДДЕЛЕНИЕ 4
|
4МГ.1.0 Студентите знаат за периметар и површина:
4МГ.2.0 Студентите користат дво-димензионални координатни мрежи за да претставаат точки и да цртаат линии и едноставни фигури:
4МГ.3.0 Студентите покажуваат знаење за рамнинските и просторните геометриски предмети и тоа знаење го користат за да прикажат релации и решаваат задачи:
|
Забелешки: Областа Мерење и Геометрија за одделение 4 содржи неколку важни стандарди кои студентите ќе треба да ги разберат целосно.
Првиот стандард се однесува на периметар и површина. Студентите треба да знаат дека површината на правоаголник се добива со множење на должината со ширината и дека периметарот е даден со линеарна димензија. Целта на повеќето од овие стандарди е студентот да ја научи суштината на формулите за периметар и површина на правоаголник и да види како овоие формули функционираат кога периметарот и површината се менувааат, како што се менуваат правоаголниците. Поважен стандард е вториот.
4МГ.2.0 Студентите користат дво-димензионална координатна мрежа за да претстават точки и да цртат линии и едноставни фигури. Иако материјалот во овој стандард е основен, тој не е целосен и мора да биде презентиран внимателно. Повторно да споменеме дека оние студенти кои сега имаат нејаснотии, во повисоките одделенија ќе имаат сериозни потешкотии и тоа не само во математиката туку и во науката како и во другите предмети. Затоа е потребно материјалот внимателно да се совлада. Поради тоа потребно е да се посвети посебно внимание за да студентите ги разберат графиците на равенките х=с и у=с каде што с е константа. Тоа се општо наречени "вертикални" и "хиризонтални" линии, соодветно. Тоа што треба да се направи е да се постават неколку точки на овие графици согласно со дефиницијата дека график на равенката е збир на сите точки (х,у) чии што координати ја задоволуваат дадената равенка. Ако тоа не се направи внимателно, овие графици и понатаму не ќе бидат ништо повеќе освен магија, во преостанататиот дел од нивното школување. Во продолжение на стандардот 4МГ.3.0, наставниците треба да го воведат симболот за нормалност ^. Во склоп на ова потребно е да се воведе и скратената номинација ab наместо големата ахb.
ОДДЕЛЕНИЕ 5
|
5МГ.1.0 Студентите разбираат и пресметуваат волумени и површини на едноставни предмети:
5МГ.2.0 Студентите ги определуваат, опишуваат и ги класифицираат особините и зависностите помеѓу рамните и просторните геометриски фигури.
|
Забелешки: Следните стандарди треба да се нагласат:
5МГ.1.1 Изведување и применување на формули за површина на триаголник и на паралелограм споредувајќи ги со фромулата за површина на правоаголник (т.е. два исти триаголници прават паралелограм со двојна провршина; парлелограмот е спореден со правоаголник со иста површина преку сечење и лепење на правоаголен триаголник над паралелограмот.)
5МГ.2.1 Мерење, определување и цртање на агли, нормали и паралелни линии, првоаголници и триаголници користејќи соодвени алатки (на пр. линеар, шестар, агломер, компјутерска програма за цртање).
5МГ.2.2 Учење дека сумата на аглите на било кој триаголник изнесува 180o, а сумата на аглите н било кој четириаголник е 360o и користење на овие факти за решавање на проблеми. Студентите треба да ги запаметат формулите за површина на триаголник, паралелограм, правоаголник и волумен на правоаголен просторен предмет и фактот дека сумата на аглите кај триаголник изнесува 180o .Ова е еден од основните факти на рамнинската геометрија, но за студентите од одделение 5, од особено значење е да се убедат во овој факт преку директно мерење, а не преку математички доказ.
ОДДЕЛЕНИЕ 6
|
6МГ.1.0 Студентите ги продлабочуваат своите знаења за димензиите на рамнински и просторни форми, и тоа знаење го користат за решавање на проблеми.
6МГ.2.0 Студентите ги одредуваат и опишуваат карактеристиките на дво-димензионалните фигури:
|
Забелешки: Следните стандарди се клучни.
6МГ.1.1 Разбирање на концептот на константи како на пример p, знаење на формулите за периметар и површина на круг.
6МГ.2.2 Применување на особините на комплементарните и суплементарните агли како и законот за збирот на аглите на триаголникот за решавање на проблеми со еден непознат агол.
Константата p може да се дефинира на рзлични начини: p=површината на единечен круг, p=периметарот/ дијаметарот (на било кој круг). Тука обичајно е да се дефинира како однос од периметарот и дијаметарот, но оваа формула се добива преку два релативно новодефинирани поими: однос и должина на крива (периметар на круг), додека првата формула зависи само од поимот: површина. Освен тоа, површината на единечен круг може да биде апроксимирана со примена на милиметарска хартија, така што студентите имаат добра шанса за добивање на p=3,14 ±0,05. Ова, не само што ќе создаде силна импресија кај студентите туку исто така ќе го продлабочи нивното сфаќање и за бројот p како и концептот на површина.
Стандардот 6МГ.1.3 е исто така важен за студентите да знаат дека волумените на тродимензионалните фигури често пати може да се пресметаат со нивно изведување и комбинирање во фигури чии што волумени се веќе познати.
ОДДЕЛЕНИЕ 7
|
7МГ.1.0 Студентите избираат соодветни мерни единици и применуваат односи за претворување во и помеѓу мерните системи, за да ги решат проблемите:
7МГ.2.0 Студентите пресметуваат периметар, површина и волумен на едноставни геометриски фигури и ги применуваат резултатите за да ги определат димензиите на нетолку познати фигури. Тие знаат како периметарот, површината и волуменот се променуваат со промена на размерот:
7МГ.3.0 Студентите ја знаат Питагоровата теорема и ги продлабочуваат нивните знаења за рамнинските и просторните геометриски облици преку конструирање на фигури кои ги исполнуваат дадените услови и со утврдување на особините на фигурите:
|
Забелешки: Главен акцент во областа Мерење и Геометрија е студентите да стекнат поголем осет за просторните зависности. Ова е прикажано во следните два стандарди:
7МГ.3.4 Покажување разбирање за условите кои покажуваат дека две геометриски фигури се складни и што значи тоа за зависностите помеѓу страните и аглите на двете фигури.
7МГ.3.6 Одредување елементи на тро-димензионални објекти (на пр. дијагонали на правоаголен просторен објект) и опишување како два или повеќе објекти се поврзани во просторот (пр. коси линии, можни начини три рамнини да се сечат). Критичен дел за разбирање на овој метеријал е студентите да знаат општа дефиниција на складност - две фигури се складни ако со неколку рефлексии, ротации и/или транслации фигуирите се совпаѓаат - и да сваќаат дека големините на складните фигури како агли, рабови, должини, површини и волумени се еднакви.
Следниот важен чекор е содржан во следниот стандард:
7МГ.3.3 Учење и сваќање на Питагоровата теорема и нејзината примена за пресметување на должината на непозната страна на правоаголен триаголник, должината на други линиски сегменти и во некои случаи, емпириско проверување на оваа теорема со директно мерење. Питагоровата теорема најверојатно е првата точна теорема што студентите ја имаат видено. Треба да биде нагласено дека не се очекува од студентите да ја докажат оваа теорема. Меѓутоа, подобрите студенти треба да се способни да го разберат доказот даден со сечење, (на два различни начини), на квадрат со страни а+b (каде што а и b се должините на краците на правоаголен триаголник). Како и да е, се очекува секој студент да свати што значи теоремата и нејзината конверзна теорема и како се применуваат и двете. Апликациите може да содржат и докази за формулата дека крадратен корен од х2+у2 е должина на линискиот сегмент од координтниот почеток до точката (х,у) во рамнината и дека најкраткото растојание од точка до линија (која не ја содржи таа точка) е должината на нормалниот линиски сегмент од точката до линијата.
Иако следните теми не се толку основни како погоре споменатите, тие исто така би требало да бидат опфатени внимателно. Студентите од одделение 7 треба да ги запаметат формулите за волумените за цилиндри и призми (стандард 6МГ.2.1). Студентите сега треба да ја сватат дискусијата што започна во одделение 6, а што се однесува на "воопштен цилиндар". Поконкретно, правиот кружен цилиндар тие треба да го замислуваат како просторен објект кој е добиен од кружен диск што се движи нагоре по линиски сегмент L нормален на самиот диск. При воопштувањето, дискот се заменува со рамнински регион со било која форма, а линискиот сегмент повеќе не мора да биде нормален на рамнинскиот регион. Тогаш, како рамнинскиот регион се движи по L, држејќи се паралелен на самиот себе, се добива воопштен цилиндар. Формулата за волумен на вака добиен просторен објект сеуште е "висината на воопштениот цилиндар" x "површината на рамнинскиот регион". Висината сега зависи од вертикалното растојание помеѓу висината и дното на воопштениот цилиндар. Последна тема што треба да се нагласи во областа Мерење и Геометрија за одделение 7 е следната:
7МГ.1.3 Применување на димензии изразени како мерки или односи (пр. брзина, густина) и димензии изразени како производи (на пр. човек-денови) за решавање на проблеми; проверување на единиците на решението и применување на димензионална анализа за да се провери логичноста на одговорот.
