ОДДЕЛЕНИЕ 1

1СБ.1.0 Студентите ги разбираат и применуваат броевите до 100: 1СБ.1.1 Пресметување и пишување на цели броеви до 100. 1СБ.1.2 Споредување и подредување на цели броеви до 100 со примена на симболите за помал од, еднаков на, или поголем од (<, =, >). 1СБ.1.3 Претставување на еквивалентни форми на исти броеви преку примена на физички модели, дијаграми и бројни изрази (до 20) (т.е. 8 може да биде претставен како 4 + 4, 5 + 3, 2 + 2 + 2 + 2, 10 - 2,11 - 3). 1СБ.1.4 Пресметување и групирање на објекти во единици и десетки (т.е. три групи од 10 и 4 се еднакви на 34, или 30 +4). 1СБ.1.5 Одредување и препознавање на вредноста на кованите пари и претставување на различни комбинации со ковани пари за иста вредност.  1СБ.2.0 Студентите го прикажуваат значењето на собирањето и одземањето и ги применуваат овие операции за да ги решат проблемите: 1СБ.2.1 Знаење на фактите за собирањето (суми до 20) и соодветните факти за одземањето и нивно запомнување. 1СБ.2.2 Применување на инверзни зависности помеѓу собирањето и одземањето за решавање на проблемите. 1СБ.2.3 Одредување на еден поголем од, еден помал од, 10 поголем од и 10 помал од даден број. 1СБ.2.4 Пресметување со 2, 5 и 10 до 100. 1СБ.2.5  Претставување на значењето на собирањето (спојување, зголемување) и одземањето (раздвојување, споредување, наоѓање на разлика). 1СБ.2.6 Решавање на проблеми со собирање и одземање на едноцифрени и двоцифрени броеви (5 + 58 = __). 1СБ.2.7 Пресметување на суми на три едноцифрени броеви.  1СБ.3.0 Студентите применуваат стратегии на проценка при пресметување и решавање на проблеми кои содржат единици, десетки и стотки: 1СБ.3.1 Правење на разумна приближна пресметка при споредување на поголеми или помали броеви.

Забелешки: Следниот стандард за Cмисла за броеви е основен:

1СБ.1.1 Пресметување и пишување на цели броеви до 100. Од особено значење е тоа што студентите стекнуваат концептуално разбирање за броевите и пресметките, а не само едноставно да учат меморирани пресметки до 100. Потребно е тие да сватат дека на пример пресметување може да се врши по било кој редослед и во било која насока, а не по стандарден шаблон на пресметување од лево на десно. Важно е само секој елемент да е избран еднаш и само еднаш. Студентите мора да разберат дека броевите претставуваат множество на  специфични големини на елементи. Од особена важност е учењето и разбирањето на постапното пресметување на броевите во десетки и множењето со 10. Треба да биде нагласено дека броевите во десетките претставуваат десетични вредности и одреден број на единични вредности т.е. 12 не претставува само збир од 12 елементи туку исто така претставува 1 десетка и 2 единици. Подеднакво важен стандард за Смисла за броеви е и следниот стандард:

1СБ.1.2 Споредување и подредување на цели броеви до 100 со примена на симболите за помал од, еднаков на, или поголем од (<, =, >). Континуалното развивање на способностите за собирање и одземање - како што е тоа дадено во наредните стандарди, е основно:

1СБ.2.1 Знаење на фактите за собирањето (суми до 20) и соодветните факти за одземањето и нивно запомнување.

1СБ.2.5  Претставување на значењето на собирањето (спојување, зголемување) и одземањето (раздвојување, споредување, наоѓање на разлика). На пример студентите треба да сфатат дека равенката 15 -8 = 7 е иста со 15 = 7 + 8. Особено внимание треба да се посфети на постигнување на овие способности бидејќи оние студенти кои нема да ги научат овие теми ќе имаат сериозни потешкотии во повисоките одделенија. За да се постигнат овие стандарди студентите во текот на учебната година треба да решаваает едноставни проблеми со собирање и одземање.

ОДДЕЛЕНИЕ 2

2СБ.1.0 Стдентите ја разбираат зависноста помеѓу броевите, големините и вредноста на местото во целите броеви до 1000: 2СБ.1.1 Пресметување, читање и пишување на цели броеви до 1000 и одредување на местото на секоја цифра според вредноста. 2СБ.1.2 Применување на зборови, модели и проширени форми (пр. 45 = 4 десетки + 5) за претставување на броевите (до 1000). 2СБ.1.3 Споредување и подредување на цели броеви до 1000 со примена на симболите <, =, >.  2СБ.2.0 Студентите проценуваат, пресметуваат и решаваат проблеми со собирање и одземање на двоцифрени и троцифрени броеви: 2СБ.2.1 Разбирање и применување на инверзната зависност помеѓу собирањето и одземањето (пр. спротивен броен исказ за 8 + 6 = 14 е 14 - 6 = 8) при решавање на проблеми и проверка на решенијата. 2СБ.2.2 Пресметување на сумата или разликата на два цели броеви со повеќе од три цифри. 2СБ.2.3 Користење на ментална аритметика за пресметување на сумата или разликата на два двоцифрени броеви.  2СБ.3.0 Студентите креираат и решаваат едноставни проблеми со множење и делење: 2СБ.3.1 Користење на повеќекратно собирање и  педредување на множителите, при извршување на операцијата множење. 2СБ.3.2 Користење на певеќекратно одземање и формирање на соодветни групи на броеви за да се претстави операциајта делење. 2СБ.3.3 Учење на таблиците за множење со 2, 5 и 10 и нивно меморирање.  2СБ.4.0 Студентите разбираат дека дропките и децималите може да претставуваат делови од множества или делови од една целина: 2СБ.4.1 Препознавање, именување и споредување на единични дропки од 1/12 до 1/2. 2СБ.4.2 Препознавање на дропките како делови од една целина или делови од една група (пр. 1/4 од пита; 2/3 од 15 топки). 2СБ.4.3 Разбирање дека кога се содржани сите дробни делови, како на пр. 4/4 тогаш резултатот е еднаков на целата целина т.е. е еднаков на 1.  2СБ.5.0 Студентите креираат и решаваат проблеми преку примери за собирање и одземање на одедени суми на пари: 2СБ.5.1 Решавање на проблеми со користење на комбинации од ковани и книжни пари. 2СБ.5.2 Запознавање и примена на децимална нотација, како и симболи за денар и дени.  2СБ.6.0 Студентите применуваат стратегии на проценка при пресметување и решавање на проблеми кои содржат единици, десетки, стотки и илјадарки: 2СБ.6.1 Препознавање на разумно заокружување при мерења (пр. најблизок милиметар).

Забелешки: Како што беше случај и во одделение 1, познавањето на целите броеви претставува основна тема во одделение 2, иако веќе се појавуваат дропките и децималите. Следните стандарди за Смисла за броеви се од особена важност:

2СБ.1.1 Пресметување, читање и пишување на цели броеви до 1000 и одредување на местото на секоја цифра според вредноста.

2СБ.1.3 Споредување и подредување на цели броеви до 1000 со премена на симболите <, =, >. Поради слични причини подолните стандарди исто така се многу важни:

2СБ.2.1 Разбирање и применување на инверзната зависност помеѓу собирањето и одземањето (пр. спротивен броен исказ за 8 + 6 = 14 е 14 - 6 = 8) при пешавање на проблеми и проверка на решенијата.

2СБ.2.2 Пресметување на сумата или разликата на два цели броеви со повеќе од три цифри. Стандардот 2.1 им дава на студентите јасна примена на зависностите помеѓу различните типови на операции (собирање и одземање) и можат да бидат применети за поттикнување на пофлексибилни методи на размислување и решавање на проблеми; на пример, знаењето на собирањето може да го олесни решавањето на проблемите со одземање и обратно. Проблемот 144 - 98 = ? може да биде решен применувајќи 144 = 100 + 44 = 98 + 2 + 44 = 98 + 46.

Стандардот 2СБ.2.2 се однесува на наставата за алгоритамот за собирање на броеви со повеќе од три цифри. За студенти од оваа возраст треба да се имаат наум  две работи. Првата е дека наставата на почетокот треба да биде флексибилна и да не се инсистира на формализам на овој алгоритам од почетокот. На пример наставата може да започне со 23 + 45 земајќи во предвид дека 20 +3 + 40 +5 = 20 + 40 +3 +5 = 60 +8 = 68. Овој процес ги принудува студентите да ја применат предноста на собирање на цифрите на десетките и цифрите на единиците одделно. При тоа на самиот почеток не треба премногу да се нагласува вештината за "пренесување". Клучната особина на овој алгоритам е можноста да се додаваат броевите колона по колона, една цифра во моментот. Со други зборови важно е да се додаваат цифри од исто место (цифрите на единиците, цифрите на десетките, цифрите на стотките и т.н.), а сепак на крајот да се добие точен одговор. Само одкога оваа идеја ќе се разбере, може да се премине кон учење на вештината за "пренесување". Истата примедба важи и за алгоритамот за одземање. Наставниците на почетокот треба да го нагласат фактот дека одземање на два троцифрени броеви може да се изврши со одземање на поединечни цифри со иста местоположба. Така 746 - 503 може да се пресмета со три одземања на поединечни цифри: 7 - 5 =2; 4 - 0 = 4 и 6 - 3 = 3 така да 746 - 503 = 243. Треба да се покаже дека ова е бидејќи 746 - 503 = 700 + 40 + 6 -500 - 00 - 3. Посебната вештина на "разменување" (позајмување) потребна за одземање на 793 - 568 може да се учи откако ќе се научи идејата за ефикасноста на одземање на поединечни цифри.

Формални објаснувања при ова одделенско ниво не се потребни, т.е. треба да се претпочитаат неформални убедувања. Математичкото расудување за овие стандарди треба да продолжи во одделение 4. Третиот стандард за Смисла за броеви е основен за студентите за разбирање на аритметиката и способноста за решавање на проблеми со множење и делење:

2СБ.3.0 Студентите поставуваат и решаваат пороблеми со множење и делење. Од особено значење е студентите да се потсетат дека множењето е скратена форма за повторено собирање: точното значење на 5 х 7  е  7 + 7 + 7 + 7 + 7, ни повеќе ни помалку. Ова претставува можност да се импресионираат студентите за фактот дека секој симбол и секој концепт во математиката има прецизно, недвосмислено значење.

Дискусиите за дропките и целите претставени во Стандардите  за Смисла за броеви 2СБ.4.1, 2СБ.4.2 и 2СБ.4.3 се исто така важни нешта за развивање на аритметичките способности  на студентите. Иако еквивалентноста на дропките не е експлицитно наведена во овој стандард, добра идеа е да се отпочне дискусија на оваа тема во овој момент - студентите треба да знаат на пример, дека 2/4 е исто со 1/2, концепт кој може (и треба) да биде претставен со слика. Конечно, како практична работа и како основна примена на овие теми дискутирани претходно, материјалот во Стандардите  за Смисла за броеви 2СБ.5.1 и 2СБ.5.2 - за моделирање и решавање на проблеми со пари - е многу важен. Позајмувањето пари дава практичен контекст на концептот на одземање. Особено внимание треба да се посвети на потребата за внесување на симболите на различни парични единици.

ОДДЕЛЕНИЕ 3

3СБ.1.0 Студентите ја разбираат вредноста на целите броеви според местоположбата. 3СБ.1.1 Пресметување, читање и пишување на цели броеви до 10000. 3СБ.1.2 Споредување и подредување на цели броеви до 10000. 3СБ.1.3 Одредување на вредноста според местоположбата, на секоја цифра во броевите до 10000. 3СБ.1.4 Заокружување на броевите до 10000 на најблиски десетки, стотки и илјадарки. 3СБ.1.5 Примена на проширена нотација за претставување на броевите (пр. 3206 = 3000 + 200 + 6). 3СБ.2.0 Студентите пресметуваат и решаваат проблеми со собирање, одземање, множење и делење: 3СБ.2.1 Пресметување на сумата или разликата на два цели броеви помеѓу 0 и 10000. 3СБ.2.2 Меморирање на таблиците за множење за броевите помеѓу 1 и 10. 3СБ.2.3 Примена на инверзни релации за множење и делење, за пресметување и проверка на резултати. 3СБ.2.4 Решавање на проблеми со множење на повеќецифрени броеви со едноцифрени броеви (3671 х 3 =__). 3СБ.2.5 Решавање на проблеми со делење во кои повеќецифрениот број е поделен со едноцифрен број (135 : 5 =__). 3СБ.2.6 Разбирање на посебните особини на 0 и 1 во множењето и делењето. 3СБ.2.7 Определување на цената на компонентата кога е дадена вкупната цена и бројот на компоненти. 3СБ.2.8 Решавање на проблеми за кои се потребни две или повеќе вештини од погоре споменатите.  3СБ.3.0 Студентите ги разбираат зависностите помеѓу целите броеви, едноставните дропки и децималите: 3СБ.3.1 Споредување на дропки претставени со цртежи или конкретни материјали за да се прикаже еквивалентноста и собирање или одземање на едноставни дропки во контекст на тоа (пр. 1/2 од пица е исто со 2/4 од друга пица која има иста големина; прикажување дека 3/8 е поголемо од 1/4). 3СБ.3.2 Собирање и одземање на едноставни дропки (пр. да се покаже дека 1/8 + 3/8 е еднакво со 1/2). 3СБ.3.3 Решавање на проблеми со собирање, одземање, множење и делење на одредена сума пари во децимална нотација и множење и делење на сума пари во децимална нотација со примена на целобројни множители и делители. 3СБ.3.4 Да се научи и разбере дека дропките и децималите се две различни претставувања на еден ист концепт (пр. 50 дени се 1/2 од денар, 75 дени се 3/4 од денар).

Забелешки: Во Стандардите  за Смисла за броеви, Стандардите1.3 и 1.5 се особено важни: 

3СБ.1.3 Одредување на вредноста според местоположбата, на секоја цифра во броевите до 10000. 

3СБ.1.5 Примена на проширена нотација за претставување на броевите (пр. 3206 = 3000 + 200 + 6). Студентите кои покажуваат добро концептуално разбирање на целите броеви (пр. вредноста според местото) треба да обрнат посебно внимание на вториот стандард. 

Тука Стандардите 3СБ.2.1, 3СБ.2.2, 3СБ.2.3 и 3СБ.2.4 се посебно важни: 

3СБ.2.1 Пресметување на сумата или разликата на два цели броеви помеѓу 0 и 10000. 

3СБ.2.2 Меморирање на таблиците за множење за броевите помеѓу 1 и 10. 

3СБ.2.3 Примена на инверзни релации за множење и делење, за пресметување и проверка на резултати. 

3СБ.2.4 Решавање на проблеми со множење на повеќецифрени броеви со едноцифрени броеви (3671 х 3 =__). Тврдењето што го подржува стандардот 3СБ.2.1 беше дадено во одделение 2: еднаш кога студентите ќе станат вешти во собирање и одземање на троцифрени броеви, зголемувањето на бројот на цифри повеќе не претставува некоја тешкотија. Во трето оделение беше претставен стандардот 3СБ.2.4 .Повторно, акцентот во почетната фаза од учењето на алгоритамот за множење треба да се стави на едноставни примери каде што "пренесувањето" не игра никаква улога. На пример, 234 х 2 е исто со дуплирање на 200 + 30 + 4 што е 400 + 60 + 8, што е 468, што од друга страна се добива од 234 при множење на секоја цифра со 2. Истото размислување се применува и при 123 х 3. Еднаш кога студентите ќе ја воочат можноста дека одговорот при множење на броеви со повеќе цифри може да се добие од одговорите на едноставните проблеми со една цифра, идејата на  "пренесување"  може да се презентира, но при составување на одговорот за проблеми од типот 234 х 6 = 200 х 6 + 30 х 6 + 4 х 6, треба да биде нагласен фактот дека одговорот може да се добие еднстав но со поединечни едноцифрени множења 2 х 6, 3 х 6 и 4 х 6. Овој факт го прави учењето на таблицата за множење многу важно. Зависноста помеѓу множењето и делењето (стандард 2.3) треба да биде нагласена од почеток. Со други зборови 39 поделено со 3 = 13 е исто со тврдењето дека 39 = 13 х 3. Изгледа дека е неопходно постојано потсетување на студентите од одделение 3 на овој факт. 

Две теми во третиот стандард исто така заслужуваат посебно внимание: 

3СБ.3.2 Собирање и одземање на едноставни дропки (пр. да се одреди дека 1/8 + 3/8 е еднакво со 1/2). 

3СБ.3.3 Решавање на проблеми со собирање, одземање, множење и делење на одредена сума пари во децимална нотација и множење и делење на сума пари во децимална нотација со примена на целобројни множители и делители. Ова се елементи на почетно воведување на аритметика со дропки и децимали - теми кои ќе се надоградуваат во текот на неколку години.

ОДДЕЛЕНИЕ 4

4СБ.1.0Студентите ја разбираат вредноста на цифрите кај целите броеви според местото и на децималите до две децимални места и како целите броеви и децималите се поврзани со едноставните дропки. Студентите почнуваат да го користат концептот за негативни броеви: 4СБ.1.1 Читање и пишување на цели броеви со милиони. 4СБ.1.2 Одредување и споредување на цели броеви и децимали со две децимални места. 4СБ.1.3 Заокружување на цели броеви со милиони на најблиска десетка, стотка, илјадарка, десет илјадарка, или сто илјадарка. 4СБ.1.4 Одлучување кога е потребно заокружување на решението, со објаснување зошто такво решение понекогаш е соодветно. 4СБ.1.5 Објаснување на различни интерпретации на дропки, на пример делови од целина, делови од множество, делење на цели броеви со цели броеви, објаснување на еквивалентноста на дропки (види Стандард 4.0). 4СБ.1.6 Пишување на десетинки и стотинки во децимални и дробни нотации и учење на дробните и децималните еквиваленти за половини и четвртини (пр. 1/2 = 0,5 или 0,50; 7/4 = 1 3/4 = 1,75). 4СБ.1.7 Пишување на дропки зададени со цртежи како делови од слика; претставување на дадена дропка со применување на цртежи и поврзување на дропката со едноставен децимален број на бројната оска. 4СБ.1.8 Користење на концептите за негативни броеви (пр. на бројната оска, во пресметувањето, за температури, за "долгови"). 4СБ.1.9 Одредување на релативната позиција на бројната оска на позитивните дропки, позитивните мешани броеви и позитивните децимални броеви со две децимални места.  4СБ.2.0 Проширување на знаењето на студентите за целите броеви со примена при собирање и одземање на едноставни децимални броеви: 4СБ.2.1 Определување и пресметување на сумата или разликата на цели броеви и позитивни децимални броеви со две децимали. 4СБ.2.2 Заокружување на децималните броеви со две децимални места на една децимала, или на најблискиот цел број со проценка на издржаноста на заокружениот одговор.  4СБ.3.0 Студентите решаваат проблеми со собирање, одземање, множење и делење на цели броеви  и ги разбираат зависностите помеѓу операциите: 4СБ.3.1 Разбирање и способност за примена на стандардни алгоритми за собирање и одземање на повеќецифрени броеви. 4СБ.3.2 Разбирање и способност за примена на стандардни алгоритми за множење на повеќецифрени броеви со двоцифрен број, како и делење на повеќецифрени броеви со едноцифрен број, примена на зависности помеѓу нив за да се поедностават пресметките и да се проверат резултатите. 4СБ.3.3 Решавање на проблеми со множење на повеќецифрени броеви со двоцифрени броеви. 4СБ.3.4 Решавање на проблеми со делење на повеќецифрени броеви со едноцифрени броеви.  4СБ.4.0 Студентите знаат како да ги факторираат малите цели броеви: 4СБ.4.1 Разбирање дека повеќето цели броеви се разложуваат на различни начини (пр. 12 = 4 х 3 = 2 х 6 = 2 х 2 х 3). 4СБ.4.2 Разбирање дека броеви како 2, 3, 5, 7 и 11 немаат други фактори освен 1 и самите себе и дека таквите се нарекуваат прости броеви.

Забелешки: Областа Смисла за броеви за одделение 4 ги проширува знаењата на студентите за броевите и тоа за поголеми броеви (милиони) и помали броеви (со две децимални места). Во контекст на ова, на студентите ќе им биде поставено да научат да заокружуваат броеви на најблиските десетинки, стотинки и илјадатинки, веројатно без да знаат зошто. Затоа конечно треба да се објасни зошто заокружувањето е многу повеќе од механичко искуство и во стварност претставува важна карактеристика на математиката при нејзината примена за разбирање на светот околу нас. За оваа цел може да се примени сликата за популацијата на САД. Согласно со последниот попис (2000 год.) во државата имало 281421906 луѓе. Потребно е да им се објасни на студентите дека во секојдневни конверзации или стратегии на планирање, подобро би било да се применува заокружената вредност на 280 милиони, отколку точната вредност од 281421906 (поради можни грешки во пописот, неможноста за точно попишување на сите луѓе, потешкотиите за добивање на целосна партиципација и т.н.). Затоа заокружувањето на најблискиот десети милион во овој случај станува неопходно, за да се отстранат несигурните и небитните информации. Стандардот 1.5 презентира два фундаментални факти за студентите да ги разберат дропкитe и тоа: различни интерпретации на дропки и еквивалентност на дропки. Фактот дека дропка како 3/5 не претставува само три делови од целина кога целината (единицата) е поделена на 5 еднакви делови туку исто така еден дел од 3 кога 3 е поделен на 5 еднакви делови, е толку основен што често го користиме и без да бидеме свесни за тоа. На пример ако некој не праша во секојдневен разговор колку долго е едно парче од стап кој е долг 3 метри кога истиот е поделен на 5 делови со иста должина, тогаш без размислување би рекле дека тоа е 3/5 од 3-те метри.  Со тоа ја користиме втората  интерпретација за делење на 3/5. Од друга страна, важно е да се има во предвид (согласно со дефиницијата за дропки како делови од целината), дека 3/5 од 3 метри е должина на три делови кога 1 метар од стапот е поделен на 5 делови со еднаква должина. На студентите им е потребно објаснување зошто овие две должини се еднакви. Еден начин за тоа да се објасни е да се подели стапот со должина од 3 метри

на 5 еднакви делови.

Секој дел е резултат од делењето на 1 метар на 5 пет еднакви делови, па согласно со дефиницијата за дропки како делови од целината, заедничката должината на 3 такви делови е 3/5 од метарот.

Јасно е дека можеме да ги групираме 15-те(=3 x 5) делови на стапот од 3 метри, така да тој биде поделен на пет еднакви должини.

Поради тоа дефинициите за дел-целина и делење се совпаѓаат. Ова објаснување продолжува да биде точно и кога дропката 3/5 е заменета со некоја друга дропка а/b. Концептот за еквивалентност на дропките се наоѓа во јадрото на скорo секое математичко размислување поврзано со дропки. Студентите  е потребно да сватат зошто 2/5=14/35, зошто 5/4=40/32, или зошто а/b=na/nb за било кој цели броеви a,b и n (секогаш b¹0 и n¹0). Дека 2/5=14/35 може да се објасни со примена на слика, претпоставувајќи дека сликата е добро коментирана. При тоа претпоставуваме дека површината на квадратот е 1:

Дропката 2/5 претставува 2 делови на единечниот квадрат кога тој е поделен на 5 делови со еднаква површина. Ние  еднаквите поделби ги правиме вертикално:

Бидејќи секое вертикално парче претствува 1/5, исенчeниот дел претставува 2/5. Од друга страна, дропката 14/35 представува 14 делови на единечниот квадрат кога тој е поделен на 35 делови со еднаква површина. Ние можеме да ја постигнеме саканата еднаква поделба на 35 делови со додавање на 7 еднакво рапоредени хоризонатлни поделби на единечниот квадрат, на претходната вертикална поделба:

Сега единечниот правоаголник е поделен на 35 мали правоаголници со иста големина, така што секој мал правоаголник е 1/35. Бидејќи има 14 вакви мали правоаголници во сенчаниот дел, тоа значи дека сенчeниот дел не претставува саму 2/5 туку и 14/35. Претходното размислување е сосема општо, но за одделение 4, ова обопштување треба да биде поедноставено.Споменувањето дека а/b=na/nb можеби е доволно. Тоа што треба особено да се нагласи е заклучокот за еднаквоста на а/b и na/nb, имено, фактот дека било кои две дропки можат да се напишатат како две дропки со ист именител. Според тоа ако a/b и с/d се две дадени дропки, тие можат да се заменат со еквивалентните дропки: ad/bd и bc/bd кои имаат ист именител bd. Овој факт има особена примена при собирањето на дропки.

Размислувањето зошто дропката има делителна интерпретација, како што беше дадено погоре, исто така се потпира врз учењето во стандардот 4БС.1.7. На пример, за да се претстави дропката 3/5 како децимален број, ние ја делиме дадената единица на 10 еднакви делови. Ова најдобро се претставува на бројна оска како 9 поделби на еднакво растојание на отсечката од 0 до 1. Со земање на 2, 4, 6 или 8 поделоци, ние добиваме делење на единицата на неколку 5-ти еднакви делови. Бидејќи на дропката 3/5 одговараат три делови, земено е до 6-тиот поделок.

Наредните стандарди се основни и нови:

4БС.1.9 Примена на концептот на негативни броеви (на пр. на бројната оска, во броењето, за температури, за "долгови").

4БС.1.9 Одредување на релативна позиција на бројната оска на позитивните дропки, позитивните мешани броеви и позитивните децимални броеви со две децимални места. Овие стандарди можат да бидат потешки за учење за учениците ако претходниот потребен материјал - подредувањето на целите броеви и споредувањето на дропки и децимални броеви не е презентирано внимателно. Важноста на овие стандарди бара да се обрне особено внимание на ова. Вториот стандард се однесува на "едноставните" децимални броеви, односно децимални броеви со две децимални места. Во овој контекст, ние нема да ги дискутираме овие децимални броеви, но потребно е да се нагласи дека нивното собирање и одземање може целосно да се моделира со помош на пари и тоа да биде направено неформално. Понатаму, иако аритметичките операции на (конечни) децимални броеви со било кој број на децимални цифри се разгледуваат во одделение 5, ние гледаме дека е потребно да се информираат студентите за тоа дека  воглавно конечен децимален број е дропка чии што именител е 10ⁿ за некој природен број n. Oва тврдење е важно при изучувањето на децималните броеви во одделение 4. (За да се разбере ова тврдење, од голема помош е опишувањето на децималните броеви како на пример 1,03 буквално како "еден и три-стоти делови", а не како "еден запирка нула три".)

Третата тема во областа Смисла за броеви е и исто така од особена важност. Во овој стандард и неговите четири подстандарди е содржана примената на стандардните алгоритми за собирање, одземање и множење на повеќецифрени броеви како и стандардниот алгоритам за делење на повеќецифрени со едноцифрен број. Како и со едноставната ариметика, совладувањето на овие вештини ќе бара интензивно вежбање во текот на неколкуте наредни одделенија!

Акцентот кај стандардот 4БС.3.1 е поставен на формалното (математичко) разбирање на алгоритмите за собирање и одземање на цели броеви.Особено е важно студентите да го видат значењето на комутативниот и асоцијативниот закон за собирање при објаснувњето на овие алгоритми. Многу е важно студентите веќе да имаат стекнато механички вештини во врска со овие алгоритми. Доколку тие се несигурни во механиката на овие алгоритми, нивните умови ќе бида преокупирани со манипулациите, наместо да го ценат размислувањето позади манипулациите.

Стандард 4БС.3.2 се однесува на размислувањата кои се однесуваат на алгоритмите за множење и делење при едноставни ситуации (двоцифрени множители и едноцифрени делители). Тука постои мала непријатност бидејќи клучен фактор претставува дистрибутивниот закон кој не е споменат се до одделение 5 (стандард АФ5.1.3). Како и да е, доколку грижата и трпението се соединети, учениците ќе можат да го научат дистрибутивниот закон. Кај алгоритамот за делење постои нов елемент - делење со остаток: ако a и b се цели броеви, тогаш постојат еднозначно определени цели броеви q и r каде што 0£r<b така што a=qb+r. Алгоритамот за делење тогаш може да се објасни како итеративна постапка на ова делење со остаток. Четвртата тема "студентите знаат како да ги разложат малите цели броеви на прости множители" е потребна за коментирање на еднаквоста на дропките. Исто така ја вклучува потребата на студентите да разберат што претставува прост број. Концептот на прост број е сеуште важен, но често тежок за студентите целосно да го разберат. Студентите исто така треба да ги знаат простите броеви до 50. Од овие причини подготовката за коментирање на простите броеви треба да започне не подоцна од одделение 3. На студентите кои ги разбираат простите броеви ќеим биде полесно да ја разберат еквивалентноста на дропките како и да множат и делат дропки во одделенијата 5, 6 и 7.

ОДДЕЛЕНИЕ 5

5СБ.1.0 Студентите пресметуваат со многу големи (пр. милиони) и многу мали броеви (пр. илијадатинки) позитивни цели броеви, децимални броеви и дропки и  ја разбираат зависноста помеѓу децималните броеви, дропките и процентите. Тие ги разбираат релативните големини на броевите: 5СБ1.1 Пресметување, заокружување и манипулирање со многу големи (пр. милиони) и многу мали броеви (пр. илијадатинки). 5СБ1.2 Сваќање на процентите како стоти делови, наоѓање на децимални броеви и проценти еквивалентни на обични дропки и објаснување зошто тие претставуваат иста вредност; пресметување на даден процент од цел број. 5СБ1.3 Разбирање и пресметување на целобројни позитивни степени на ненегативни цели броеви, пресметување на примери како повторено множење. 5СБ1.4 Определување на прости множители за сите броеви до 50 и пишување на боревите како производ од нивните прости множители со применување на експоненти што ги прикажуваат множењата на множителот (пр. 24=2х2х2х3=23х3 ). 5СБ.1.5 Познавање и внесување на децимали, дропки, мешани броеви, позитивни и негативни цели броеви на бројна оска. 5СБ.2.0 Студенти вршат пресметки и решаваат проблеми со собирање, одземање и едноставно множење и делење на дропки и децимални броеви: 5СБ.2.1 Собирање, одземање, множење и делење на децимални броеви, собирање на негативни цели броеви, одземање на позитивни цели броеви од негативни цели броеви и провека на точноста на резултатитите. 5СБ.2.2 Покажување на извежбаност во делењето, делење со позитивни децимални броеви и долго делење со повеќецифрени делители. 5СБ.2.3 Решавање на едноставни проблеми, вклучувајќи проблеми од вистинскиот живот, со собирање и одземање на дропки и мешани броеви (со исти или различни именители до 20, или помали) и изразување на одговорите во најпроста форма. 5СБ.2.4 Разбирање на концептот за множење и делење на дропки. 5СБ.2.5 Пресметување и изведување на едноставно множење и делење на дропки и примена на овие постапки при решавање на проблеми.

Забелшки: 5СБ1.2 Сваќање на процентите како стоти делови, наоѓање на децимални броеви и проценти еквивалентни на обични дропки и објаснување зошто тие претставуваат иста вредност; пресметување на даден процент од цел број. Фактот дека дропката c/d претставува "c делови од целина составена од d еднакви делови" и "количник на бројот с поделен со бројот d" беше првпат споменат во стандардот 4СБ.1.5 во одделение 4. Како што беше порано споменато во одделение 4, овој факт мора да биде внимателно објаснет, а не само деклариран како што е вобичаено во повеќето училишни учебници. Важноста на презентирање на логички објаснувања за сите аспекти од учењето за дропки не мора да бид пренагласена, бидејќи стравот на учениците од дропки и грешките поврзани со нив доведува до непотполност во математичкото образование. Доколку е јасно дека c/d претставува делење на c со d, тогаш конверзијата на дропки во децимални броеви може логички да биде објаснета.

Студентите исто така продолжуваат да учат за релативната позиција на броевите на бројната оска, особено за негативните цели броеви. Негативните цели броеви се особено бажни бидејќи на почетокот тие претставуваат главен дел од суштинските објаснувања на смислата за броеви. Во овој поглед особено е важен стандардот 5СБ.1.5.

5СБ.1.5 Познавање и внесување на децимали, дропки, мешани броеви, позитивни и негативни цели броеви на бројна оска. Правилното претставување на позитивните дропки на бројната оска покажува дека учениците треба да знаат да ги подрдуваат и споредуваат дропките. Идентификувањето на броевите како точки на реалната оска претставува важен чекор за студентите при поврзување на концептите на аритметика со геометрија. Ова соединување на аритметиката и геометријата е се поприсутно во математиката и дава нова димензија кај студентите при разбирањето на броевите. Бидејќи често пати мешаните броеви претставуваат голем проблем за студентите, потребно е внимателно да се разработи овој стандард. Како прво, студентите не треба да ги делат изразите на "прави" и "неправи" дропки како различни објекти, туку тие треба да разберат дека тие не претставуваат ништо повеќе од различни примери на ист концепт - имено, дропки. Одредувањето на дропките како точки на бројната оска (така што една точка не е различна од некоја друга точка) ќе одземе подолго време со оглед на тоа дека е потребно да се елиминираат повеќето од овие погрешни сваќања. Со вакво сваќање, сега наставникот може да спомене дека за "неправите" дропки постои алтернативно претставување.

На пример, на бројната оска 5/4 е после 1 за вредност 1/4 тка што 1 1/4 претставува разумна алтернтивна нотација. Слично 11/3 на бројната оска е за 2/3 после 3, така што 3 2/3 исто така претставува разумна алтернативна нотација.

Кога дропка како 5/4 или 11/3 е напишана како 1 1/4 или 3 2/3, може да се каже дека претставува мешан број. Воглавно, учениците од одделение 5 треба да бидат подготвени за воопштено објаснение на тоа како се пишува неправа дропка како мешан број, преку примена на делење со остаток. Доколку претпоставиме дека a/b е неправа дропка, тогаш ние можеме да ја напишеме како мешан број на следниот начин. Делењето на цел број a со цел број b е изразено како a=qb+r, каде q е количник, а остатокот r e цел број 0£r<b. Тогаш дропката a/b според дефиниција е напишана како мешан број т.е. q r/b. Да забележиме дека r/b е права дропка. Потребно е да се нагласи дека мешаниот број претставува само одреден начин на претставување на дропката и дека околу тоа не треба да постои страв. Исто така доста важен аспект во работата на студентите со негативни броеви е да ги научат правилата за изведување на основните аритметички операции со нив, како што е прикажано во наредниот стандард.

5СБ.2.1 Собирање, одземање, множење и делење на децимални броеви, собирање на негативни цели броеви, одземање на позитивни цели броеви од негативни цели броеви и провека на точноста на резултатитете. Во одделение 5, студентите учат како да собираат негативни броеви и како да вадат позитивни броеви од негативни броеви. Во овој контекст учениците треба да покажат интерес за геометриско прикажување на овие концепти. При собирање на позитивнен број b точката на бројната оска се преместува надесно за b единици, при собирање на негативен број b точката на бројната оска се преместува налево за b единици и т.н. Множењето и делењето на негативните броеви не е земено во предвид во одделение 5, бидејќи делењето со негативни броеви води кон негативни дропки, кои сеуште не се воведени. Иако стандард 5СБ.2.1 е споменат пред стандардите 5СБ.2.3 и 5СБ.2.4 за собирање и множење на дропки, учењето на децималните бреви мора да се потипира на концептот за дропки и нивните аритметички операции. Формално ние дефинираме дека конечен децимален број е дропка чиј именител е 10ⁿ , за некој природен број n. Без оваа точна дефиниција, објаснувањето би било потешк  затоа што собирањето и одземањето на децималните броеви се сведува на собирање и одземање на цели броеви, така што покасно овие алгоритми можат да бидат применети. Во контекст на ова, без оваа точна дефиниција, суштински би било невозможно да се објасни правилото за децимална запирка при множење и делење на децимални броеви. На пример, 2,4х0,37 може да се пресмета како 24х37=888 и бидејќи има вкупно три децимални места, вообичаеното правило гласи 2,4х0,37=0,888. Причината, базирана на точната дефиниција за децимални броеви, е дека според оваа дефиниција: 2,4 = 24/10 и 0,37 = 37/100 така да 2,4х0,37 = (24/10х37/100) = (24х37) / 1000 = 888/1000 = 0,888. Во многу учебници аритметичките операции со децимални броеви се наоѓаат пред дискусиите за дропки и воопшто не се мешаат со дефиницијата за децимални броеви. Ова создава потешкотии за наставникот. Воведот на општиот алгоритам за делење е исто така важен, но може да биде комплициран и според тоа тежок за совладување од повеќето студенти. Особено, способноста потребна за наоѓање на најголем производ на делителот со цел број помеѓу 0 и 9, што е помал од остатокот, претставува големо напрегање за учениците од одделение5. Студентите го применуваат алгоритамот за внимателно избрани случаи во кои потребните броеви при секој чекор се јасни. Поставувањето на ваков проблем во овој контекст може да биде од помош. На пример, студентите можат да го замислат делењето на 153 со 25 како делење на 153 студенти во неколку автобуси, од кои секој може да содржи 25 патници. Цртањето на слики може да им помогне на студентите да видат дека се потребни шест автобуси при што остануваат уште три студенти сами во седмиот автобус. Меѓутоа, ниту е потребно, ниту е паметно да се прошируваат овие концепти. Важен стандард за студентите е и следниот:

5СБ.2.2 Покажување на извежбаност во делењето, делење со позитивни децимални броеви и долго делење со повеќецифрени делители. Најбитните вештини во смисла за броеви што студентите треба да ги научат во одделение 5 се собирање и одземање на дропки (стандард 2.3), а делумно и множење и делење на дропки (стандардите 2.4 и 2.5). Во овој контекст на математичка едукација на студентите, неопходно е тие да ги препознаваат дропките како броеви, кои се на иста положба како и целите броеви и затоа можат да се собираат, множат и т.н. Со други зборови претставуваат колекција на точки на бројната оска во кои се вклучени целите броеви. На пример, за собирање на a/b+c/d како модел го користиме собирањето на цели бореви. Бидејќи 3+8 претставува должина на поврзани отсечки, така што отсечката со должина 3 е поврзана со отсечката со должина 8,  ние дефинираме a/b+c/d исто така да биде должина на поврзани отсечки, кога отсечката со должина a/b е поврзана со отсечка со должина c/d. Пресметката на оваа поврзана должина е комплицирана од фактот дека b може да биде различно од d. Но концептот на еквивалентни дропки покажува како било кои две дропки можат да имаат ист именител, имено a/b = ad/bd и c/d = bc/bd.

Значи, ако помислиме дека 1/bd е основната единица, тогаш a/b претставуваат ad копии на таа единица, а c/d претставуваат bc копии на таа единица. Со нивно собирање се покажува дека a/b+c/d е ad+bc и претставуваат копии на таа единица. Ова е едноставен начин за да се добие формула за собирање на дропки. Но треба да се нагласи дека оваа формула не претставува дефиницијата за собирање на дропки, која е моделирана после собирањето на целите броеви. Даденото собирање на дропки треба да се објасни во форма на најмал заеднички множител на именителите.

Доколку студентите ги совладаат овие основни вештини со дропки, понатаму проблемите со нивна конкретна примена можат да се искористат за стекнување на искуство и за поттикнување на техничката оспособеност на учениците со дропки. При сведувањето на дропките вклучени се две главни вештини: разложување на целите броеви со цел да се претстават дропките во редуцирана форми и разбирање на основните аритметички вештини со разложување. Два стандарди кои што треба да се нагласат се:

5СБ1.4 Определување на прости множители за сите броеви до 50 и пишување на боревите како производ од нивните прости множители со применување на експоненти што ги прикажуваат множењата на множителот (пр. 24=2х2х2х3=2³х3 ).

5СБ.2.3 Решавање на едноставни проблеми, вклучувајќи проблеми од вистинскиот живот, со собирање и одземање на дропки и мешани броеви (исти или различни именители од 20 или помали) и изразување на одговорите во најпроста форма.

Начинот на учење на дропки, што се појавува покасно во ова поглавје, дава многу идеи за тоа како да се пристапи на оваа тема. Студентите можат да имаа корист од примената на "Cитото на Eratosthense" за стандардот 5СБ.1.4. Стандардот 5СБ.2.4 го опфаќа воведот за множење и делење на дропки. Ова е тема што ќе биде сериозно обработена во одделение 6, но во овој контекст важно е студентите да се потсетат за значењето на делењето помеѓу целите броеви, како алтернативен начин за пишување на 28:7=4; или во општа форма ако axb=c, тогаш ние пишуваме c:b=a. Со вежбање, студентите можат да се подготват да ја применат идејата на "делењето како инверзен израз на множењето". Доколку еднаш ја сватат оваа идеја, тие ќе бидат подготвени за соодветни ситуации со дропки, т.е. ако a, b и c се дропки, тогаш - повторно според дефиницијата a x b=c е исто како и c:b=a.

Со примена на едноставни дропки, како b =1/2 или b =1/3 и c =6 или c =24 и цртежи доколку се потребни, лесно може да се прикаже зошто 12 x (1/2) = 6 е исто со 6:(1/2) =12 или зошто 24 x (1/3)= 8 е исто со 8:(1/3) = 24.

ОДДЕЛЕНИЕ 6

6СБ.1.0 Студентите ги споредуваат и подредуваат позитивните и негативните дропки, децималните броеви и мешаните броеви. Студентите решаваат проблеми со дропки, односи, пропорции и проценти: 6СБ.1.1 Споредување и подредување на позитивни и негативни дропки, децимални и мешани броеви и нивно поставување на бројната оска. 6СБ.1.2 Прикажување и применување на односи во различен контекст (на пр. пресметување средни вредности, километри на час) за да се прикажат релативните големини на две количини, преку примена на соодветни нотации (дропка: "a/b", со зборови: "a спрема б", "а до b" или како однос: "a:b"). 6СБ.1.3 Применување на пропорции при решавање на проблеми (пр. одредување на вредноста на N ако 5/7=N/21, пресметување на должина на страна од полигон сличен на познат полигон). Применување на накрсно множење како метод за решавање на такви проблеми, и негово разбирање како множење на двете страни на равенката со примена на инверзно множење. 6СБ.1.4 Пресметување на дадени проценти на големини и решавање на проблеми со попуст при продажба, добивка и бакшиш. 6СБ.2.0 Студентите пресметуваат и решаваат проблеми со собирање, одземање, множење и делење: 6СБ.2.1 Решавање на проблеми со собирање, одземање, множење и делење на позитивни дропки и објаснување зошто одредена операција била применета за дадена ситуација. 6СБ2.2 Објаснување на значењето на множење и делење на позитивни дропки и нивно пресметување (пр. 5/8 : 15/16 = 5/8 x 16/15 = 2/3) 6СБ2.3 Решавање на проблеми со собирање, одземање, множење и делење, вклучувајќи и проблеми од секојдневниот живот, каде се применуваат и негативни цели броеви и комбинации на овие операции. 6СБ2.4 Определување на најмал заеднички множител и најголем заеднички делител на целите броеви и нивна примена при решавање на проблеми со дропки (пр. пресметување на заеднички именител при собирање на две дропки или пресметување на редуцирана форма за дропка).

Забелешки: Повеќето стандарди од областа Смисла за броеви за одделение 6 се доста важни. Овие стандарди можат да бидат поделени во четири групи. Првата е споредба и подредување на позитивни и негативни дропки (пр. рационални броеви), децимални броеви или мешани броеви и нивната позиција на бројната оска.

6СБ.1.1 Споредување и подредување на позитивни и негативни дропки, децимални и мешани броеви и нивно претставување на бројната оска. Подредувањето на дропките најдобро се прави преку примена на алгоритамот за накрсно множење кој покажува дека a/b=c/d е точно кога ad=bc и a/b<c/d е точно кога ad<bc. Студентите мора не само често да го применваат овој алгоритам туку исто така да разберат зошто е точен. Причината за ова пак е базирана на фактот дека било кои две дропки можат да се препишат како две дропки со ист именител. Затоа a/b и c/d можат да се препишат како ad/bd и bc/bd. Алгоритамот за накрсно множење сега станува очевиден. Од особено значење е сваќањето на студентите за позициите на негативните броеви и геометрискиот ефект на броевите на бројната оска кога бројот е собран или одземен од нив.

Втората група на стандарди е претставена со наредните три стандарди, а секој од нив се однесува на односи и проценти.
6СБ.1.2 Прикажување и применување на односи во различни контексти (на пр. пресметување средни вредности, километри на час) за да се прикажат релативните големини на две количини, преку примена на соодветни нотации (дропка: "a/b", со зборови: "a спрема б", "а до b" или како однос: "a:b")
6СБ.1.3 Применување на пропорции при решавање на проблеми (пр. одредете ја вредноста на N ако 5/7=N/21, пресметување на должина на страна од полигон сличен на познат полигон). Применување на накрсно множење како метод за решавање на такви проблеми, и негово разбирање како множење на двете страни на равенката со користење на инверзно множење.
6СБ.1.4 Пресметување на дадени проценти на големини и решавање на проблеми со попуст при продажба, добивка и бакшиш.

Потребно е да се забележи дека иако стандардите 6СБ.1.2 и 6СБ.1.3 се наоѓаат пред стандард 6СБ.2.1, тие треба да се научат откако студентите ќе знаат се за стандардот 6СБ.2.1, т.е. откако тие ќе имаат научено множење и делење со дропки (на при., во стандародот 6СБ.1.3 дирекно се применува правилото "инверзно множење" како начин на изразување). Одкога тоа ќе се направи, тогаш однос може да се дефинира како делење на еден број со друг, на пример однос на патувани километри  за еден поминат час  (километри на час), однос на тежината на две ќеси компири (x kg компири/2 ќеси) и т.н. Во стандардот 6СБ.1.4, наставникот мора на студентите јасно да им објасни зошто е корисен концептот за процент: ја стандардизира спордбата на големините и во повеќе ситуации, ги олеснува пресметките. На пример, може да дојде до заблуда кога данокот на една држава изнесува 17/200, а на друга 4/45. Која држава има повисок данок? Ако се согласиме да го изразиме данокот во проценти, двете држави ги имаат нормализирано нивните даноци на 8,5% и 8,9% (апроксимативно), соодветно. Тогаш лесно може да се каже дека втората држава има повисоки даноци. Се разбира, изразувањето на проценти ја прави пресметката релативно полесна: 8,5% данок на артикал од €25,50 изнесува 25,50 х 0,085 = €2,17.

Третата група ги вклучува сите останати стандарди за Смисла на броеви поврзани со дропки:                     

 6СБ.2.0 Студентите пресметуваат и решаваат проблеми со собирање, одземање, множење и делење. Бидејќи постои мала двосмисленост во начинот на изразување во овој стандард, потребно е јасно да се прикаже дека овој стандард е поврзан со четирите аритметички операции на позитивните дропки, како и позитивните и негативните цели броеви. Аритметичките операции на рационалните броеви односно позитивните и негативните дропки се оставени за одделение 7.

Бидејќи собирање и одземање на дропки се изучува во одделение 5 (стандард 5СБ.2.3), главниот акцент во стандардите 6СБ.2.1 и 6СБ.2.2 е ставен на множење и делење на позитивни дропки. Најчеста грешка претставува поставуавањето на формулата a/b x c/d = ac/bd без претходно објснување на значењето на производот на дропките a/b x c/d. Овој производ може да се дефинира како површина на правоаголник со должина на страните a/b и c/d (се разбира во единечниот квадрат со површина 1) или како дропка кај која  а се делови од c/d кога c/d е поделена на b еднакви делови. Двете интерпретации се корисни при решавање на проблемот и затоа треба внимателно да се објаснат. Од толкувањето на стандардот 5СБ.2.4 во одделение 5, делењето на дропки сега е јасно: изразот a/b : c/d=m/n има исто значење како и a/b=m/n x c/d. Од стандардот 4АФ.2.2 (алгебра и функции), студентите знаат дека равенката ќе остане иста ако двете страни се помножат со d/c и затоа a/b x d/c = m/n x c/d x d/c па правилото за "инверзно множење" при делење на дропки се покажува дека е валидно.

Стандардот 6СБ.2.1 се однесува на решавање на проблеми во кои се применува множење и делење на дропки. Особено е важно што студентите знаат зошто примената на правилото "преврти и множи" (инверзно множење) е доволно за овие задачи.

Во дискусијата за одделение 5 беше споменато дека концептот на најмал заеднички множител игра улога во учењето за дропки. Следниот стандар го прави ова јасно.

6СБ2.4 Определување на најмал заеднички множител и најголем заеднички делител на целите броеви и нивна примена при решавање на проблеми со дропки (пр. пресметување на заеднички именител за собирање на две дропки или пресметување на редуцирана форма на дропка). Примената на НЗМ (најмал заеднички множител) во дропките треба да биде внимателно одредена. Од една страна, знаењето на НЗМ не води кон поедноставување на некои ситуации, пр.

каде што се применува НЗМ за 16 и 24 кој изнесува 48. Ова очевидно е поедноставно од применување на именител 16х24. Од друга страна, наоѓањето на НЗМ за именителите може да биде тешко за пресметување. На пример, дали е полесно кога собираме 2/57 + 3/95, да извршиме одредување на НЗМ на именителите (кој е 285) или едноставно да се примени нивниот производ (57х95) како заеднички именител на 2/57 + 3/95?

Редуцирањето на 361/5415 на 1/15 може да биде многу потешко во споредба со тоа прво да се најде НЗМ, а потоа да се изврши редуцирање на 19/285 на ист начин, така што одлуката за тоа дали да се примени НЗМ треба да биде базирана на проценката дали потоа ќе има потреба да се најде редуцирана форма на сумата.

Четвртата група е посебна од другите бидејќи се состои од само еден стандард.

6СБ2.3 Решавање на проблеми со собирање, одземање, множење и делење, вклучувајќи и проблеми од секојдневниот живот, каде се применуваат и негативни цели броеви и комбинации на овие операции.

За прв пат се очекува од студентите да ја совладат аритметиката на негативни цели броеви. Студентите наидуваат на одредени потешкотии бидејќи причините за некои од поважните основни правила изгледаат нејасни за нив. Собирањето на позитивните цели броеви можеби не е проблем, но ако едниот од a и b e негативен во a+b, тогаш како студентот ќе ја пресмета оваа сума? Една од поважните работи што треба да се запомни е дека за било кој цел број а, -а е бројот што задоволува a + (-a) = 0. Сега гледаме како да собираме два негативни броеви (-3) + (-5) = -(3 + 5), бидејќи бројот [(-3) + (-5)] задоволува [(-3) + (-5)] + (3+5) = (-3) + 3 + (-5) + 5 = 0 + 0 = 0 (каде што се применети и асоцијативнииот и комутативниот закон), така што [(-3) + (-5)] + [3 +5] = 0, што значи[(-3) + (-5)] = - (3+5). Општо, ако a и b се позитивни цели броеви, тогаш (-a) + (-b) = -(a + b). Ова е бидејќи [(-a) + (-b)] + (a + b) = (-a) + a + (-b) + b = 0 + 0 = 0 (каде што повторно се применети асоцијативнииот и комутативниот закон), така да [(-a) + (-b)] + (a + b) = 0, од што следува (-a) + (-b) = -(a + b). Ако a и b се позитивни цели броеви и a < b , тогаш a + (-b) може да биде пресметано на следниот начин: нека c е позитивен цел број така што a + c = b, тогаш a + (- b) = - c. Еве зошто. Ние штотуку видовме дека -b = -(a + c) = (-a) + (-c) така да a + (-b) = a + (-a) + (-c) = 0 + (-c) = -c , како што и рековме. Слично можеме да покажеме: ако a + c = b за позитивни цели броеви a, b, c , тогаш (-a) + b = c, бидејќи (-a) + b = (-a) + a + c = c . Со ова е прикажан начинот на собирање на било кој два цели броеви. Сега за множењето на целите броеви, почнуваме со забелешката дека (-3) х 5 = -(3 х 5).Доволно е да се прикаже дека [(-3) х 5] + [3 х 5] = 0. Ова е така бидејќи се применува дистрибутивниот закон и добиваме [(-3) х 5] + [3 х 5] = [(-3) + 3] х 5 = 0 х 5 = 0. Во општ случај и со ист доказ, имаме: ако a и b се било кој два цели броеви, тогаш (-a) х b = -(a х b). Aналогно, имаме

Останува да се покаже дека (-1) х (-1) = 1. Од одделение 4 стандард 4АФ2.1 (алгебра и функции) следи дека ако оваа равенка е точна, тогаш:

Меѓутоа, според дистрибутивниот закон (вториот чекор),

што беше тоа што и сакавме да го покажеме. Следува: