Дефиниција: Детерминантa на 2х2 матрица е дефинирана со формулата:
\det \left( {\matrix{ a & b \cr c & d } } \right) = \left| {\,\,\matrix{ a & b \cr c & d } \,\,} \right|\,\,=ad-bc.
Проверка на особините:
a. \det (\bf{I})=1: \left| {\,\,\matrix{ 1 & 0 \cr 0 & 1 } \,\,} \right|\,\,=1 \cdot 1-0 \cdot 0=1 .
б. \det (\bf{A^T})=\det (\bf{A}) : Нека \bf{A}=\left| {\,\,\matrix{ a & b \cr c & d } \,\,} \right| . Тогаш \det \bf{A^T}=\left| {\,\,\matrix{ a & c \cr b & d } \,\,} \right| и \det ( {\bf{A}} ) = ad-bc = ab-cb = \det ( \bf{A^T} ).
в. \det (\bf{A})=0 ако и само ако редовите на \bf{A} се линеарно зависни - види пример 3 долу.
г. \det (\bf{A} \cdot \bf{B})=\det (\bf{A}) \cdot \det (\bf{B}) - види пример 2 долу.
Анимиран приказ за пресметување на детерминантата на 2х2 матрица:
| Attach:det2x2mk.gif Δ |
| Кликни на Attach:Main/reload_ff.gif Δ (Firefox) or Attach:Main/refresh_ie.gif Δ (IE) за да се обнови анимираниот приказ. |
| Види и АВО за аудио-визуелно објаснување со голем број изработени примери.
|
Пример 1: Колку изнесува: \left| {\,\,\matrix{ 4 & -1 \cr 2 & 0 } \,\,} \right| ?
Решение: \left| {\,\,\matrix{ 4 & -1 \cr 2 & 0 } \,\,} \right| =4 \cdot 0-2 \cdot {-1}=2\,\,.
Одговор: \left| {\,\,\matrix{ 4 & -1 \cr 2 & 0 } \,\,} \right|=2 .
Пример 2: Aко {\bf{A}}= \left( {\,\,\matrix{ 1 & 2 \cr -2 & 4 } \,\,} \right) и {\bf{A}}= \left( {\,\,\matrix{ -1 & 3 \cr 2 & 0 } \,\,} \right) . Колку изнесува: \det ({\bf{A}}) \cdot \det ({\bf{B}}) - \det ({\bf{AB}}) ?
Решение:
\det ({\bf{A}}) = 1 \cdot 4 - ( - 2) \cdot 2 =8 и \det ({\bf{B}}) = - 1 \cdot 0 - 2 \cdot 3=-6 .
\det ({\bf{A}}) \cdot \det ({\bf{B}}) = 8 \cdot {-6}=-48 .
{\bf{AB}} = \left( {\matrix{ 1 & 2 \cr { - 2} & 4 \cr } } \right)\left( {\matrix{ { - 1} & 3 \cr 2 & 0 \cr } } \right) = \left( {\matrix{ {1 \cdot ( - 1) + 2 \cdot 2} & {1 \cdot 3 + 2 \cdot 0} \cr {( - 2) \cdot ( - 1) + 4 \cdot 2} & {( - 2) \cdot 3 + 4 \cdot 0} \cr } } \right) = \left( {\matrix{ 3 & 3 \cr {10} & { - 6} \cr } } \right) .
\det({\bf{AB}}) = 3 \cdot ( - 6) - 10 \cdot 3 = - 18 - 30 = - 48 .
\det ({\bf{A}}) \cdot \det ({\bf{B}}) - \det ({\bf{AB}})=-48-({-48})=0 .
Одговор: \det ({\bf{A}}) \cdot \det ({\bf{B}}) - \det ({\bf{AB}})=-48-({-48})=0 .
Пример 2: Колку изнесува: \eqalign{& \det \left( {\matrix{ 1 & 0 & { - 1} \cr { - 1} & 2 & 0 \cr 3 & 1 & 2 \cr } } \right) } ?
Решение:
\eqalign{ & \det \left( {\matrix{ 1 & 0 & { - 1} \cr { - 1} & 2 & 0 \cr 3 & 1 & 2 \cr } } \right) = \left| {\,\,\matrix{ 1 & 0 & { - 1} \cr { - 1} & 2 & 0 \cr 3 & 1 & 2 \cr } \,\,} \right|\,\,\matrix{ 1 \cr { - 1} \cr 3 \cr } \,\,\,\,\matrix{ 0 \cr 2 \cr 1 \cr } \,\, \cr & \,\,\,\,\,\,\,\, = 1 \cdot 2 \cdot 2 + 0 \cdot 0 \cdot 3 + ( - 1) \cdot ( - 1) \cdot 1 - 3 \cdot 2 \cdot ( -1) - 1 \cdot 0 \cdot 1 - 2 \cdot ( - 1) \cdot 0 \cr & \,\,\,\,\,\,\,\, = 4 + 0 + 1 + 6 - 0 - 0 = 11 \cr } .
Одговор: \eqalign{ & \det \left( {\matrix{ 1 & 0 & { - 1} \cr { - 1} & 2 & 0 \cr 3 & 1 & 2 \cr } } \right)}=11.
Поврзани теми:
- Детермианти
- Матрици
- 3х3 Детермианти?
- Решавање на линеарни системи со детерминанти
- Детерминанти со кофактори
- Специјални матрици?
- Матрици - собирање, вадење, множење со скалар, транспонована
- Матрици - множење на матрици
