Формулата:   \bbox[border:2px green dotted,5pt]{x_{1,2} = {{ - b \pm \sqrt {b^2 - 4 \cdot a \cdot c} } \over {2 \cdot a}}}

 

се користи за решавање на квадратна равенка од видoт: { ax^2+bx+c=0} ,

 

односно за наоѓање на корените на квадррата функција од видот: { f(x)=ax^2+bx+c} .


 

Пример: Реши ја равенката: 2x^2+7x-4=0 за x.

Чекори на решавање

(1)\quad а=2 \quad b=7 \quad c=-4 .
\begin{eqnarray}(2)\quad x_1 ,\,x_2 & = & {{ -7 \pm \sqrt {7^2 - 4 \cdot 2 \cdot ( - 4)} } \over {2 \cdot 2}} \\& = & {{-7 \pm \sqrt {49 + 32} } \over 4} \\& = & {{-7 \pm \sqrt {81} } \over 4}\\& = & {{-7 \pm 9} \over 4} \end{eqnarray}
(3)\quad x_1 = {{-7 + 9} \over 4} = {2 \over 4} = 0,5  и  x_2 = {{-7 - 9} \over 4} = {{ - 16} \over 4} = - 4

Одговор

Равенката 2x^2+7x-4=0 има две решенија: x_1 = 0,5  и  x_2= - 4

График

Графикот на Функцијата f(x)=2x^2+7x-4    е парабола
  • свртена нагоре (а=2>0) ,
  • со пресек со у-оската -4 (c=-4) и
  • со два пресеци со х-оската x_1 = 0,5   и  x_2= -4

 

Пример: Најди ги корените на функцијата: f(x)=4x-x^2 .

Чекори на решавање

(1)  За да се најдат корените на една функција f(x) , го бараме решението на равенката   f(x)=0 ,  
односно овој пример се сведува на: "Реши ја равенката   4x-x^2=0    за x".  
(2)\quad а=-1 \quad b=4 \quad c=0   
\begin{eqnarray}(3)\quad x_1 ,\,x_2 & = & {{ -4 \pm \sqrt {4^2 - 4 \cdot (-1) \cdot 0 }} \over 2 \cdot (-1)} \\& = & {{-4 \pm \sqrt {16-0} }\over {-2}} \\& = & {{-4 \pm \sqrt {16} } \over {-2}}\\& = & {{-4 \pm 4} \over {-2}} \end{eqnarray}   
(4)\quad x_1 = {{-4 + 4} \over {-2}} = {0 \over {-2}} = 0   и   x_2 = {{-4 - 4} \over {-2}} = {{ - 8} \over {-2}} = 4   

Одговор

Функцијата f(x)=4x-x^2    има два различни корени: x_1 = 0,  и  x_2= 4

График

Графикот на Функцијата f(x)=4x-x^2    е парабола
  • свртена на долу (а<0) ,
  • со пресек со у-оската 0 (c=0) и
  • со со два пресеци со х-оската  x_1 = 0,  и  x_2= 4

 

Пример: Најди ги корените на функцијата: f(x)=x^2-4x+4  .

Чекори на решавање

(1) За да се најдат корените на една функција f(x) , го бараме решението на равенката   f(x)=0 ,  
односно овој пример се сведува на: "Реши ја равенката   x^2-4x+4=0    за x".  
(2)\quad а=1 \quad b=-4 \quad c=4
\begin{eqnarray}(3)\quad x_1 ,\,x_2 & = & {{ -(-4) \pm \sqrt {(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 } \over 2} \cdot 1} \\& = & {{4 \pm \sqrt {16-16} } \over {2}} \\& = & {{4 \pm \sqrt {0} } \over 2}\\& = & {{4 \pm 0} \over 2} \end{eqnarray}
(4)\quad x_1 = x_2={4 \over {2}} = 2

Одговор

Функцијата    f(x)=x^2-4x+4    има eден единствен корен x = 2

График

Графикот на Функцијата f(x)=x^2-4x+4    е парабола
  • свртена нагоре (а>0) ,
  • со пресек со у-оската 4 (c=4) и
  • со eден пресек со х-оската x = 2

 

Пример: Најди ги корените на функцијата: f(x)=2x^2+1  .

Чекори на решавање

(1) Kорените на една функција f(x) е решението на равенката   f(x)=0 , односно на 2x^2+1=0 .  
(2)\quad а=2 \quad b=0 \quad c=1
\begin{eqnarray}(3)\quad x_1 ,\,x_2 & = & {{ -0 \pm \sqrt {0^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 } \over 2} \cdot 2} \\& = & {{0 \pm \sqrt {-8} } \over {4}} \end{eqnarray}
(4)\quad \sqrt{-8} нема (реално) решение така да и равенката: 2x^2+1=0 нема решение.

Одговор

Функцијата    f(x)=2x^2+1    нема корен.

График

Графикот на Функцијата f(x)=2x^2+1    е парабола
  • свртена нагоре (а>0) ,
  • со пресек со у-оската 1 (c=1) и
  • без допирна точка со х-оската.


Поврзани теми:


 Нагоре