Формули: Познати формули за множење биноми.
| \bbox[border:2px green dotted,6pt]{(a-b)(a+b)=a^2-b^2}
| \bbox[border:2px red dotted,6pt]{(a+b)^2=a^2+2ab+b^2}
| \bbox[border:2px blue dotted,6pt]{(a-b)^2=a^2-2ab+b^2}
|
Примери дека (a-b)(a+b)=a^2-b^2
| Ex.1
| Oд формулата:
| (3+4)(3-4) = 3^2-4^2 = 9 -16 = -7
|
| Од друга страна:
| (3+4)(3-4) = 7 \cdot (-1) = -7
|
| Ex.2
| Oд формулата:
| (5+1)(5-1) = 5^2-1^2 = 25 -1 = 24
|
| Од друга страна:
| (5+1)(5-1) = 6 \cdot 4 = 24
|
| Ex.3
| Oд формулата:
| (1+xy)(1-xy) = 1^2-(xy)^2 = 1-x^2y^2
|
| Проверка за неколку вредности
|
| х
| у
| (1+xy)(1-xy)
| 1-х^2у^2
| ok?
|
| 0
| 0
| (1+0 \cdot 0)(1-0 \cdot 0)=1
| 1-0^2 \cdot 0^2=1
| да
|
| 0
| 1
| (1+0 \cdot 1)(1-0 \cdot 1)=1
| 1-0^2 \cdot 1^2=1
| да
|
| 1
| 2
| (1+1 \cdot 2)(1-1 \cdot 2)=-3
| 1-1^2 \cdot 2^2=-3
| да
|
| -2
| -2
| (1+(-2) \cdot (-2))(1-(-2) \cdot (-2))=-15
| 1-0^2 \cdot (-2)^2=-15
| да
|
| 3
| -8
| (1+3 \cdot (-8))(1-3 \cdot (-8))=-575
| 1-3^2 \cdot (-8)^2=-575
| да
|
| \sqrt{2}
| -2,5
| \begin{array}(1+\sqrt{2} \cdot (-2,5))(1- \sqrt{2} \cdot ((-2,5)) \\ \approx -2,5535 \cdot 4,5535 =-11,5 \end{array}
| 1-(\sqrt{2})^2 \cdot (-2,5)^2=-11,5
| да
|
|
|
Примери дека (a+b)^2=a^2+2ab+b^2
| Ex.1
| Oд формулата:
| (3+4)^2 = 3^2+2 \cdot 3 \cdot 4+4^2 = 9+24+16=49
|
| Од друга страна:
| (3+4)^2 = 7^2 = 49
|
| Ex.2
| Oд формулата:
| (5+1)^2 = 5^2+2 \cdot 5 \cdot 1+ 1^2 = 25+10+1= 36
|
| Од друга страна:
| (5+1)^2 = 6^2 = 36
|
| Ex.3
| Oд формулата:
| (x+3)^2 = x^2+2 \cdot x \cdot 3+3^2 = x^2+6x+9
|
| Проверка за неколку вредности
|
| х
| (x+3)^2
| x^2+6x+9
| ok?
|
| 1
| (1+3)^2=4^2=16
| 1^2+6 \cdot 1+9 =1+6+9=16
| да
|
| 5
| (5+3)^2=8^2=64
| 5^2+6 \cdot 5+9 =25+30+9=64
| да
|
| -1
| ((-1)+3)^2=2^2=4
| (-1)^2+6 \cdot(-1)+9=1-6+9=4
| да
|
| -0,5
| ((-0,5)+3)^2=2,5^2=6,25
| (-0,5)^2+6 \cdot (-0,5)+9 =0,25-3+9=6,25
| да
|
| \sqrt{3}
| ((\sqrt{3})+3)^2 \approx 4,732^2 \approx 22,39
| (\sqrt{3})^2+6 \cdot (\sqrt{3})+9 \approx 3+10,39+9=22,39
| да
|
|
Пример дека (a+b)^2 \ne a^2+b^2
Графички доказ дека (a+b)^2=a^2+2ab+b^2
|
- Големиот квадрат е со страна a+b .
- Следува, плоштината на овој квадрат е А=(a+b)^2 .
- Да ги најдеме плоштините на помалите правоаголници.
- Плоштината на лилавиот квадрат е a^2 .
- Плоштината на плавиот квадрат е b^2 .
- Плоштината на секој од двата жолти правоаголници е ab .
- Јасно е дека овие 4 "подплоштини" се собираат до А.
- Следува (a+b)^2 = А = a^2 + b^2 + 2ab - бином на квадрат!
|
|
Примери дека (a-b)^2=a^2-2ab+b^2
| Ex.1
| Oд формулата:
| (5-1)^2 = 5^2-2 \cdot 5 \cdot 1+ 1^2 = 25-10+1= 16
|
| Од друга страна:
| (5-1)^2 = 4^2 = 16
|
| Ex.2
| Oд формулата:
| (3-4)^2 = (3)^2-2 \cdot 3 \cdot 4+4^2 = 9-24+16=1
|
| Од друга страна:
| (3-4)^2 = (-1)^2 = 1
|
| Ex.3
| Oд формулата:
| (2x-5)^2 = (2x)^2-2 \cdot 2x \cdot 5+5^2 = 4x^2-20x+25
|
| Проверка за неколку вредности
|
| х
| (2x-5)^2
| 4x^2-20x+25
| ok?
|
| 1
| (2 \cdot 1-5)^2=(-3)^2=9
| 4 \cdot 1^2-20 \cdot 1+25 =4-20+25=9
| да
|
| 2
| (2 \cdot 2-5)^2=(-1)^2=1
| 4 \cdot 2^2-20 \cdot 2+25 =16-40+25=1
| да
|
| -1
| (2 \cdot (-1)-5)^2=(-7)^2=49
| 4 \cdot (-1)^2-20 \cdot (-1)+25 =4+20+25=49
| да
|
| 0,5
| (2 \cdot (0,5)-5)^2=(-4)^2=16
| 4 \cdot (0,5)^2-20 \cdot (0,5)+25 =4 \cdot 0,25-10+25=16
| да
|
| -\sqrt{3}
| (2 \cdot (-\sqrt{3})-5)^2 \approx (-3,46-5)^2 \approx 71,64
| 4 \cdot (-\sqrt{3})^2-20 \cdot (-\sqrt{3})+25 \approx 16 \cdot 3 +34,64+25=71,64
| да
|
|
|
|
Нагоре
