Дефиниција: Бином е полином со 2 членови, т.е. збир на два мономи.

Примери:

3x+2 3y^2-z 2x+5 \sqrt{3}-ab
Формули: Познати формули за множење биноми.
\bbox[border:2px green dotted,6pt]{(a-b)(a+b)=a^2-b^2} \bbox[border:2px red dotted,6pt]{(a+b)^2=a^2+2ab+b^2} \bbox[border:2px blue dotted,6pt]{(a-b)^2=a^2-2ab+b^2}
Примери дека (a-b)(a+b)=a^2-b^2
Ex.1 Oд формулата: (3+4)(3-4) = 3^2-4^2 = 9 -16 = -7
Од друга страна: (3+4)(3-4) = 7 \cdot (-1) = -7
Ex.2 Oд формулата: (5+1)(5-1) = 5^2-1^2 = 25 -1 = 24
Од друга страна: (5+1)(5-1) = 6 \cdot 4 = 24
Ex.3 Oд формулата: (1+xy)(1-xy) = 1^2-(xy)^2 = 1-x^2y^2
Проверка за неколку вредности
х у (1+xy)(1-xy) 1-х^2у^2 ok?
0 0 (1+0 \cdot 0)(1-0 \cdot 0)=1 1-0^2 \cdot 0^2=1 да
0 1 (1+0 \cdot 1)(1-0 \cdot 1)=1 1-0^2 \cdot 1^2=1 да
1 2 (1+1 \cdot 2)(1-1 \cdot 2)=-3 1-1^2 \cdot 2^2=-3 да
-2 -2 (1+(-2) \cdot (-2))(1-(-2) \cdot (-2))=-15 1-0^2 \cdot (-2)^2=-15 да
3 -8 (1+3 \cdot (-8))(1-3 \cdot (-8))=-575 1-3^2 \cdot (-8)^2=-575 да
\sqrt{2} -2,5 \begin{array}(1+\sqrt{2} \cdot (-2,5))(1- \sqrt{2} \cdot ((-2,5)) \\ \approx -2,5535 \cdot 4,5535 =-11,5 \end{array} 1-(\sqrt{2})^2 \cdot (-2,5)^2=-11,5 да
Примери дека (a+b)^2=a^2+2ab+b^2
Ex.1 Oд формулата: (3+4)^2 = 3^2+2 \cdot 3 \cdot 4+4^2 = 9+24+16=49
Од друга страна: (3+4)^2 = 7^2 = 49
Ex.2 Oд формулата: (5+1)^2 = 5^2+2 \cdot 5 \cdot 1+ 1^2 = 25+10+1= 36
Од друга страна: (5+1)^2 = 6^2 = 36
Ex.3 Oд формулата: (x+3)^2 = x^2+2 \cdot x \cdot 3+3^2 = x^2+6x+9
Проверка за неколку вредности
х (x+3)^2 x^2+6x+9 ok?
1 (1+3)^2=4^2=16 1^2+6 \cdot 1+9 =1+6+9=16 да
5 (5+3)^2=8^2=64 5^2+6 \cdot 5+9 =25+30+9=64 да
-1 ((-1)+3)^2=2^2=4 (-1)^2+6 \cdot(-1)+9=1-6+9=4 да
-0,5 ((-0,5)+3)^2=2,5^2=6,25 (-0,5)^2+6 \cdot (-0,5)+9 =0,25-3+9=6,25 да
\sqrt{3} ((\sqrt{3})+3)^2 \approx 4,732^2 \approx 22,39 (\sqrt{3})^2+6 \cdot (\sqrt{3})+9 \approx 3+10,39+9=22,39 да

Пример дека (a+b)^2 \ne a^2+b^2

 

(x+3)^2 \ne x^2+9

 

Се совпаѓаат само за x=0 .

(0+3)^2=9=0^2+3^2

Графички доказ дека (a+b)^2=a^2+2ab+b^2

  • Големиот квадрат е со страна a+b .
    • Следува, плоштината на овој квадрат е А=(a+b)^2 .
  • Да ги најдеме плоштините на помалите правоаголници.
    • Плоштината на лилавиот квадрат е a^2 .
    • Плоштината на плавиот квадрат е b^2 .
    • Плоштината на секој од двата жолти правоаголници е ab .
  • Јасно е дека овие 4 "подплоштини" се собираат до А.
  • Следува (a+b)^2 = А = a^2 + b^2 + 2ab    - бином на квадрат!
Примери дека (a-b)^2=a^2-2ab+b^2
Ex.1 Oд формулата: (5-1)^2 = 5^2-2 \cdot 5 \cdot 1+ 1^2 = 25-10+1= 16
Од друга страна: (5-1)^2 = 4^2 = 16
Ex.2 Oд формулата: (3-4)^2 = (3)^2-2 \cdot 3 \cdot 4+4^2 = 9-24+16=1
Од друга страна: (3-4)^2 = (-1)^2 = 1
Ex.3 Oд формулата: (2x-5)^2 = (2x)^2-2 \cdot 2x \cdot 5+5^2 = 4x^2-20x+25
Проверка за неколку вредности
х (2x-5)^2 4x^2-20x+25 ok?
1 (2 \cdot 1-5)^2=(-3)^2=9 4 \cdot 1^2-20 \cdot 1+25 =4-20+25=9 да
2 (2 \cdot 2-5)^2=(-1)^2=1 4 \cdot 2^2-20 \cdot 2+25 =16-40+25=1 да
-1 (2 \cdot (-1)-5)^2=(-7)^2=49 4 \cdot (-1)^2-20 \cdot (-1)+25 =4+20+25=49 да
0,5 (2 \cdot (0,5)-5)^2=(-4)^2=16 4 \cdot (0,5)^2-20 \cdot (0,5)+25 =4 \cdot 0,25-10+25=16 да
-\sqrt{3} (2 \cdot (-\sqrt{3})-5)^2 \approx (-3,46-5)^2 \approx 71,64 4 \cdot (-\sqrt{3})^2-20 \cdot (-\sqrt{3})+25 \approx 16 \cdot 3 +34,64+25=71,64 да

Пример дека (a-b)^2 \ne a^2-b^2

 

(x-2)^2 \ne x^2-4

 

Се совпаѓаат само за x=2 .

(2-2)^2=0=2^2-4


Поврзани теми:


 Нагоре македонски речник математика makedonski recnik matematika