Дефиниција: Диофантова равенка е равенка од облик Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0 со целобројно решение (x,y) \in Z \times Z

На пример равенката 4y^2 - 20y + 25 = 0 има решенија \{ (x,y)|y = 2,5 \} , но 2,5 не е цел број така да оваа диофантова равенка нема решение.

Начин на решавање зависи од вредностите A, B и C. Случаите се поделени според соодветната крива на равенката, односно линеарна, елиптична, параболична или хиперболична (два случаи). Се разбира дека овие криви го претставува множеството на реални решенија. Тука ни интересираат само изолираните точки кои се можните пресеци на кривата со целобројната мрежа.
Случаи:
  • Линеарен случај: A = B = C = 0 .
  • Прост хичерболичен случај: A = C = 0 ; B \ne 0 .
  • Елиптичен случај: B^2 - 4AC < 0 .
  • Параболичен случај: B^2 - 4AC = 0 .
  • Хиперболичен случај: B^2 - 4AC > 0 .

Линеарни диофантови равенки Dx + Ey + F = 0  - Графичко решение

This browser does not have a Java Plug-in.
Get the latest Java Plug-in here.
This browser does not have a Java Plug-in.
Get the latest Java Plug-in here.
Линеарна равенка: Dx + Ey + F = 0

Има неколку подслучаи:

1. Ако D = 0 и E = 0 има (било каква) решенија само ако и F = 0.
Во овој случај диофантовата равенка има решение само ако е: 0=0 .
Диофантовата равенка e: 0=0 има безбројно многу решение, односно сите вредности на (x,y) или M=\{(x,y), x,y \in Z \} .
2. Ако D = 0 и E \ne 0 имаме Ey + F = 0 => y = -F/E
Во овој случај диофантовата равенка има решение ако и само ако Е е делител на F, односно eE=F, e \in Z .
Диофантовата равенка e: Ey+eE=0 има безбројно многу решение, односно M= \{(x,e), x \in Z \}.
3. Ако D \ne 0 и E=0 имаме Dx + F = 0 => x = -F/D
Во овој случај диофантовата равенка има решение ако и само ако Е е делител на F, односно dD=F , d \in Z.
Диофантовата равенка e: Dx+dD=0 има безбројно многу решение, односно M= \{(d,y), y \in Z \}.

4. Ако D \ne 0 и E \ne 0 проблемот е малку посложен
Нека g = нзс(D, E) .
Бидејќи g е делител на D и на E, g е делител и на изразот Dx + Ey за било кои целобројни вредности на x и y. Значи мора g да е и делител на F, oдносно диофантовата равенка има решение само ако постојат цели броеви \color{red}{d}=D/g, \color{green}{e}=E/g, \color{magenta}{f}=F/g \in Z.
Диофантовата равенка се сведува на:
\color{red}{d}x + \color{green}{e}y = \color{magenta}{-f} , каде што нзс(\color{red}{d},\color{green}{e})=1 .

Сега се користи Ојлеров метод за да се најдат цели броеви \color{teal}{u'} и \color{purple}{v'} такви што \color{red}{d}\color{teal}{u'}+\color{green}{e} \color{purple}{v'} = 1 .

Множејќи ја оваа равенка со ( \color{magenta}{-f}) имаме \color{red}{d}(\color{magenta}{-f}) \cdot \color{teal}{u'} +\color{green}{e}(\color{magenta}{-f}) \cdot \color{purple}{v'} = \color{magenta}{-f}
Конечно, за да ги најдиме сите решенија, на оваа равенка додадеме 0= \color{red}{d}\color{green}{e} \cdot k -\color{red}{d}\color{green}{e} \cdot k каде што k \in Z .

По прередување, добиеме:

\color{red}{d} (\color{magenta}{-f} \cdot \color{teal}{u'}+\color{green}{e} \cdot k ) + \color{green}{e} (\color{magenta}{-f} \cdot \color{purple}{v'}-\color{red}{d} \cdot k )= \color{magenta}{-f}
  
Одговор Решението на диофантовата равенка  е: M= \{(x,y)= (\color{magenta}{-f} \cdot \color{teal}{u'}+\color{green}{e} \cdot k ,\color{magenta}{-f} \cdot \color{purple}{v'}-\color{red}{d} \cdot k ), k \in Z \}
  

Пример 1

Пример: Да се реши диофантовата равенка: 6x+34y=4 .
Значи D=6 , E=34 и F=-4 .
g= нзс(6,34)=2 и -4 е делив со 2 така да равенката е решлива.
Равенка ја делиме со g=2: \color{red}{3}x+\color{green}{17}y=\color{magenta}{2} .
Сега се префрлуваме на Ојлеров метод.
Чекор q

Количник

r

Остаток

Замена Комбинација
1   \color{green}{17}   \color{green}{17}=\color{green}{17} \cdot 1 + \color{red}{3} \cdot 0
2   \color{red}{3}   \color{red}{3}= \color{green}{17} \cdot 0 + \color{red}{3} \cdot 1
3 \color{purple}{5} \color{teal}{2}=\color{green}{17}-\color{red}{3} \cdot \color{purple}{5} \color{teal}{2}=(\color{green}{17} \cdot 1 + \color{red}{3} \cdot 0 \cdot 1) -(\color{green}{17} \cdot 0 + \color{red}{3} \cdot 1) \cdot \color{purple}{5} \color{teal}{2}=\color{green}{17} \cdot 1 + \color{red}{3} \cdot (-5)
4 \color{blue}{1} \color{magenta}{1}=\color{red}{3}-\color{teal}{2} \cdot \color{blue}{1} \color{magenta}{1}=\color{green}{17} \cdot 0 + \color{red}{3} \cdot 1 -(\color{green}{17} \cdot 1 + \color{red}{3} \cdot (-5)) \cdot \color{blue}{1} \color{magenta}{1}=\color{green}{17} \cdot (-1) + \color{red}{3} \cdot (6)
Имаме: \color{magenta}{1}=\color{green}{17} \cdot (-1) + \color{red}{3} \cdot (6) , односно \color{teal}{u'}=\color{teal}{6} и \color{purple}{v'}=-1 .
Значи: \color{red}{3} \cdot (\color{teal}{6})+\color{green}{17} \cdot (\color{purple}{-1}) =\color{magenta}{1} .

За да ја добиеме првобитната равенка, ја множиме оваа равенка со -f=2 :

\color{red}{3} \cdot \color{teal}{(6 \cdot 2)}+\color{green}{17} \cdot \color{purple}{(-1\cdot 2)} =\color{magenta}{1 \cdot 2} или \color{red}{3} \cdot \color{teal}{(12)}+\color{green}{17} \cdot \color{purple}{(-2)} =\color{magenta}{2} .

Одговор на задачата Решението на диофантовата равенка: \color{red}{3}x+\color{green}{17}y=2 е
М= \{(x,y)=(\color{teal}{12}+\color{green}{17}k,\color{purple}{-2}-\color{red}{3}k),k \in Z \}

Пример 2

Пример: Да се реши диофантовата равенка: \color{red}{27}x+\color{green}{59}y=\color{magenta}{210} .
Значи D=27 , E=59 и F=-210 .
g= нзс(27,59)=1 така да дирекно се префрлуваме на Ојлеров метод.
Чекор q

Количник

r

Остаток

Замена Комбинација
1   \color{green}{59}   \color{green}{59}=\color{green}{59} \cdot 1 + \color{red}{27} \cdot 0
2   \color{red}{27}   \color{red}{27}= \color{green}{59} \cdot 0 + \color{red}{27} \cdot 1
3 \color{purple}{2} \color{teal}{5}=\color{green}{59}-\color{red}{27} \cdot \color{purple}{2} \color{teal}{5}=(\color{green}{59} \cdot 1 + \color{red}{27} \cdot 0 ) -(\color{green}{59} \cdot 0 + \color{red}{27} \cdot 1) \cdot \color{purple}{2} \color{teal}{5}=\color{green}{59} \cdot 1 + \color{red}{27} \cdot (-2)
4 \color{blue}{5} \color{darkyellow}{2}=\color{red}{27}-\color{teal}{5} \cdot \color{blue}{5} \color{darkyellow}{2}=\color{green}{59} \cdot 0 + \color{red}{27} \cdot 1 -(\color{green}{59} \cdot 1 + \color{red}{27} \cdot (-2)) \cdot \color{blue}{5} \color{darkyellow}{2}=\color{green}{59} \cdot (-5) + \color{red}{27} \cdot (11)
5 \color{darkgreen}{2} \color{magenta}{1}=\color{teal}{5}-\color{darkyellow}{2} \cdot \color{darkgreen}{2} \color{magenta}{1}=(\color{green}{59} \cdot 1 + \color{red}{27} \cdot (-2))-(\color{green}{59} \cdot (-5) + \color{red}{27} \cdot (11)) \cdot \color{darkgreen}{2} \color{magenta}{1}=\color{green}{59} \cdot (11) + \color{red}{27} \cdot (-24)
Имаме: \color{magenta}{1}=\color{green}{59} \cdot (11) + \color{red}{27} \cdot (-24) , односно \color{teal}{u'}=\color{teal}{-24} и \color{purple}{v'}=\color{purple}{11} .
Значи: \color{red}{27} \cdot (\color{teal}{-24})+\color{green}{59} \cdot (\color{purple}{11}) =\color{magenta}{1} .

За да ја добиеме првобитната равенка, ја множиме оваа равенка со -F=210 :

\color{red}{27} \cdot \color{teal}{(-24 \cdot 210)}+\color{green}{59} \cdot \color{purple}{(11\cdot 210)} =\color{magenta}{1 \cdot 210} или \color{red}{27} \cdot \color{teal}{(-5040)}+\color{green}{59} \cdot \color{purple}{(2310)} =\color{magenta}{210} .

Одговор на задачата Решението на диофантовата равенка: \color{red}{27}x+\color{green}{59}y=210 е
М= \{(x,y)=(\color{teal}{-5040}+\color{green}{59}k,\color{purple}{2310}-\color{red}{27}k),k \in Z \}
Прост хиперболична диофантова равенка: Bxy + Dx + Ey + F = 0  - Графичко решение
This browser does not have a Java Plug-in.
Get the latest Java Plug-in here.
Прост хиперболична равенка: Bxy + Dx + Ey + F = 0
Чекор 1 - Множење со B:   B^2xy + BDx + BEy + BF = 0
Чекор 2 - Раздвојување:   (Bx+E)(By+D) = DE - BF

Има неколку подслучаи:

1. Ако DE - BF \ne 0 Се барат факторите на DE - BF   (види пример 1).
2. Ако DE - BF = 0
Пример 1
Пример: Да се реши диофантовата равенка: \color{red}{5}y-\color{green}{5}x=xy .
Значи \color{magenta}{1}xy+\color{red}{5}x-\color{green}{5}y=0 oдносно B=\color{magenta}{1} , D=\color{red}{-5} , E=\color{green}{5} и F=0 .
\color{magenta}{1}xy +\color{red}{5}x-\color{green}{5}y=0
\color{magenta}{1}^2xy+ \color{magenta}{1} \cdot \color{red}{5}x-\color{magenta}{1} \cdot \color{green}{5}y=\color{magenta}{1} \cdot 0
(\color{magenta}{1}x- \color{green}{5})(\color{magenta}{1}y+ \color{red}{5})=\color{red}{5} \cdot (\color{green}{-5})+\color{magenta}{1} \cdot 0
(x- \color{green}{5})(y+ \color{red}{5})= \color{teal}{-25}

\color{teal}{-25} има 6 фактори - имено \pm1, \, \pm 5 \, и \, \pm 25 . Значи има 6 решенија.
Решинија 1: (x- \color{red}{5})=1 и (y+ \color{green}{5})= -25 oдносно x=6 и y=-30 или (6,-30).
Решинија 2: (x- \color{red}{5})=5 и (y+ \color{green}{5})= -5 oдносно x=10 и y=-10 или (10,-10).
Решинија 3: (x- \color{red}{5})=25 и (y+ \color{green}{5})= -1 oдносно x=30 и y=-6 или (30,-6).
Решинија 4: (x- \color{red}{5})=-1 и (y+ \color{green}{5})= 25 oдносно x=4 и y=20 или (4,20).
Решинија 5: (x- \color{red}{5})=-5 и (y+ \color{green}{5})= 5 oдносно x=0 и y=0 или (0,0).
Решинија 6: (x- \color{red}{5})=-25 и (y+ \color{green}{5})= 1 oдносно x=-20 и y=-4 или (-20,-4).

Одговор на задачата Решението на диофантовата равенка \color{red}{5}y-\color{green}{5}x=xy се точките: (6,-30), (10,-10), (30,-6), (4,20), (0,0) и (-20,-4)


Поврзани теми:

Извор: http://www.alpertron.com.ar/QUAD.HTM, http://en.wikipedia.org/wiki/Extended_Euclidean_algorithm
Л.Стојановска и Н.Димитровска

 Нагоре македонски речник математика makedonski recnik matematika