Комбинација C_{n,k}

Дефиниција: Нека А е множество со n различни елементи и нека k \le n \,\,. Секое избор на k елементи се вика комбинација на n избери k.

Регулатива: Нека А е множество со n различни елементи и нека k \le n \,\,. Бројот на варијации на n избери k елементи на А е: \bbox[border:2px green dotted,2pt]{C_{n,k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} = V_{n,k}/k! \,\,}

• Кои се комбинација на 4 избере 1 елемент од множестовото А?
  • Одговор: Секоја комбинација се состој од еден елемент така да има 4 комбинации: \color{green}{♣},\quad \color{red}{♥},\quad \color{blue}{♦}  и   \color{black}{♠} .

C_{4,1} = 4

• Кои се комбинации на 4 избере 2 елементи од множестовото А?
  • Одговор: Има 6 комбинации на 2 различни бои (елементи) на А: \color{green}{♣}\color{red}{♥},\quad \color{green}{♣}\color{blue}{♦}, \quad \color{green}{♣} \color{black}{♠}   и   \color{red}{♥}\color{blue}{♦}, \quad \color{red}{♥}\color{black}{♠}   и   \color{blue}{♦}\color{black}{♠} \quad .
  • Бидејќи редоследот не е важно, следните комбинации се еднакви! \color{green}{♣}\color{red}{♥} = \color{red}{♥}\color{green}{♣} \,\,   и   \color{green}{♣}\color{blue}{♦}=\color{blue}{♦}\color{green}{♣} \quad   и  ...
  • C_{4,2} = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2!2!}=6 \quad\quad или C_{4,2}=V_{4,2}/3!=12/2=6 \,\, Види Варијација
• Колку се комбинации на 4 избере 3 елементи од множестовото А?
  • Одговор: Има само 4 комбинации на 4 избере 3 елементи од множестовото А: \color{green}{♣}\color{red}{♥}\color{blue}{♦}     и   \color{green}{♣}\color{red}{♥}\color{black}{♠} и   \color{green}{♣}\color{blue}{♦}\color{black}{♠} и   \color{red}{♥}\color{blue}{♦}\color{black}{♠}   
  • C_{4,3} = \frac{4!}{3!(4-3)!} = \frac{4!}{3!1!}=4 \quad\quad или C_{4,3}=V_{4,3}/k!=24/6=4 \,\, Види Варијација
• Колку се комбинации на 4 избере 2 елементи од множестовото А?
  • Одговор: Има само 1 комбинација на 4 избере 4 елементиод множестовото А. Таа е: \color{green}{♣}\color{red}{♥}\color{blue}{♦}\color{black}{♠}\, .
  • C_{4,4} = \frac{4!}{4!(4-4)!} = \frac{4!}{4!0!}=1 \quad\quad или C_{4,4}=V_{4,4}/4!=P_4/4!=4!/4!=1 \,\, Види Пермутација

---Oвој доказ е наопаку, т.е. со индуцкција.--  (За разлика од доказите кај пермутација и варијација.)

• Го означуваме бројот на комбинации n избере k со C_{n,k} .
• Избере една комбинација С на k елементи од n-тите елементи на А.
  • Знаеме дека бројот на пермутации на С е P_k=k! , a
  • секоја пермутација на С е варијација на n избере k елементи на А.
• Значи секоја комбинација С на р елементи од А содржи р! варијации.
• Следува: V_{n,k} = C_{n,k} \cdot k!   односно   C_{n,k} = V_{n,k} / k!