Дефиниција: Постапката на наоѓање вредности на променливите x и y, за кој двете равенки преминуваат во точно бројно равенство се вика решавење на систем се вика решавање на 2х2 систем линеарни равенки.

Пример за 2х2 линеарен систем

Задача: Реши го системот: \left\{ \begin{array}{c} \color{blue}{\,\,x + 2y = 5} \\ \color{red}{2x - y = 0} \\ \end{array} \right.


Одговор: Решението на овој систем е: (\color{purple}{x},\color{teal}{y})=(\color{purple}{1},\color{teal}{2}) .
Зошто? Поради тоа што при заменување на \color{purple}{x=1} и \color{teal}{y=2} во двете равенки од системот се добиваат искази кои се "вистини":
\begin{array}{c} \color{purple}{1}\color{blue}{+}\color{teal}{2}\color{blue}{ \cdot 2 \,≟\, 5} \\ \color{blue}{1 + 4 \,≟\, 5} \\ \color{blue}{5 \,=\, 5} \\ \end{array}      \begin{array}{c} \color{red}{2\cdot} \color{purple}{1} \color{red}{- } \color{teal}{2}\color{red}{ \,≟\, 0} \\ \color{red}{2 - 2 \,≟\, 0} \\ \color{red}{0 = 0} \\ \end{array}
Графички имаме:
This browser does not have a Java Plug-in.
Get the latest Java Plug-in here.
Регулатива: Решение е секоја пресечна (допирна) точка на правите одредени со дадените равенки.

Интерактивен приказ   Упаство за интерактивноста

1. Погледај ги двете прави a и b. Се пресекуваат во точката E. Провери дека E ги задоволува двете равенки како во погорниот пример.

Ако знаеш како, реши го системот: a и b и провери дека добиеш E..

2. Кликни и влечи ги правите или точките A, B, C и/или D. Ако се преекуваат во една точка, E е "добро", односно дефинирана.

Провери на левата страна (каде што се формулите) дека E е точка!

3. Кликни и влечи ги точките A, B, C и/или D така да a и b се паралелни. Тие се паралелни кога E е "недефинирана".

Notice that a and b ја имаат истата дефиниција освен за константата послед знакот "=".

4. Кликни и влечи ги точките A, B, C и/или D така да a и b се совпаѓаат.

Забележи дека a и b ја имаат сосем иста дефиниција и дека E е "недефинирана".

This browser does not have a Java Plug-in.
Get the latest Java Plug-in here.
Три типови решенија   Графови!

Линеарен систем може да има:

•  Едно единствено решение, т.е. правите се пресекува во една единствена точка и решението е точката каде што се пресекуваат.
Кога се решава ваков систем се добиваат броеви за x и y. Одговорот е: (број за x, број за y)
•  Ниту едно решение, т.е. правите се паралелни и не се допираат.
Кога се решава ваков систем се добиваат контрадикција како 3=0. Одговорот е: Нема решение.
• Безбројно многу решенија, т.е. правите се совпаѓаат (се исти) и секоја точка од правата е решение.
Кога се решава ваков систем се заглавува со 0=0. Одговорот е: Безбројно многу решенија.
Едно единствено решение - \left\{ \begin{array}{c} \color{blue}{\,\,x + 2y = 5} \\ \color{red}{2x - y = 0} \\ \end{array} \right. Ниту едно решение - \left\{ \begin{array}{c} \color{blue}{\,\,x + 2y = 5} \\ \color{red}{x + 2y = 2} \\ \end{array} \right. Безбројно многу решенија - \left\{ \begin{array}{c} \color{blue}{\,\,x + 2y = 5} \\ \color{red}{2x + 4y = 10} \\ \end{array} \right.
This browser does not have a Java Plug-in.
Get the latest Java Plug-in here.
This browser does not have a Java Plug-in.
Get the latest Java Plug-in here.
This browser does not have a Java Plug-in.
Get the latest Java Plug-in here.
Методи на решавање

Линеарен систем со точно едно решение може да се реши со било кои од следните три методи:

  • Метод на замена   Пример
  • Метод на спротивни коефициенти или собирање/елиминација   Пример
  • Крамерова правило (со детерминанти).   Пример
Метод на замена. \left\{ \begin{array}{c} \color{blue}{\,\,x + 2y = 5} \\ \color{red}{2x - y = 0} \\ \end{array} \right.
-------------------------------------------------------------------------------
\left\{ \begin{array}{l} \color{blue}{x + 2y = 5} \\ \color{red}{2x - y = 0} \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \color{blue}{x = 5-2y} \\ \color{navy}{2x - y = 0} \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \color{navy}{x = 5-2y} \\ \color{red}{2\cdot\color{blue}{(5-2y)} - y = 0} \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow
-------------------------------------------------------------------------------
\left\{ \begin{array}{l} \color{navy}{x = 5-2y} \\ \color{red}{10-4y - y = 0} \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \color{navy}{x = 5-2y} \\ \color{red}{10-5y = 0} \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \color{navy}{x = 5-2y} \\ \color{red}{10=5y} \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow
-------------------------------------------------------------------------------
\left\{ \begin{array}{l} \color{navy}{x = 5-2y} \\ \color{red}{y=2} \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \color{navy}{x = 5-2y} \\ \color{red}{5y=10} \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \color{blue}{x = 5-2 \cdot} \color{red}{2} \\ \color{red}{y=2} \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow
-------------------------------------------------------------------------------
\left\{ \begin{array}{l} \color{blue}{x = 5-4} \\ \color{navy}{y=2} \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \color{blue}{x = 1} \\ \color{navy}{y=2} \\ \end{array} \right.   Решението е: (1,2)
Метод на собирање . \left\{ \begin{array}{c} \color{blue}{\,\,x + 2y = 5} \\ \color{red}{2x - y = 0} \\ \end{array} \right.
\left\{ \begin{array}{l} \color{blue}{x + 2y = 5} \\ \color{red}{2x - y = 0} \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \color{navy}{x + 2y = 5} \\ \color{red}{4x - 2y = 0} \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \color{navy}{x + 2y = 5} \\ \color{purple}{5x+0y =5} \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow
-------------------------------------------------------------------------------
\left\{ \begin{array}{l} \color{navy}{x + 2y = 5} \\ \color{purple}{5x=5} \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \color{navy}{x + 2y = 5} \\ \color{purple}{x=1} \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \color{purple}{1} \color{blue}{+2y=5} \\ \color{navy}{x=1} \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow
-------------------------------------------------------------------------------
\left\{ \begin{array}{l} \color{blue}{2y=4} \\ \color{navy}{x=1} \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \color{blue}{y=2} \\ \color{navy}{x=1} \\ \end{array} \right.   Решението е: (1,2)
Крамерова правило. Реши \left\{ \begin{array}{c} \color{blue}{\,\,x + 2y = 5} \\ \color{red}{2x - y = 0} \\ \end{array} \right. = \left\{ \begin{array}{c} \color{blue}{1}x + \color{#FF8000}{2}y = \color{orange}{5} \\ \color{red}{2}x \color{#800080}{ - 1} y = \color{#00BB80}{0} \\ \end{array} \right.
-------------------------------------------------------------------------------
D = \left| {\matrix{ \color{blue}{1} & \color{#FF8000}{2} \cr \color{red}{2} & \color{#800080}{ - 1} \cr } } \right| = \color{blue}{1} \cdot \color{#800080}{ ( - 1)} - \color{red}{2} \cdot \color{#FF8000}{2} = - 1 - 4 = - 5
-------------------------------------------------------------------------------
\color{purple}{D_x} = \left| {\matrix{ \color{orange}{5} & \color{#FF8000}{2} \cr \color{#00BB80}{0} & \color{#800080}{ - 1} \cr } } \right| = \color{orange}{5} \cdot \color{#800080}{ ( - 1)} - \color{#00BB80}{0} \cdot \color{#FF8000}{2} = - 5 - 0 = - 5
-------------------------------------------------------------------------------
\color{teal}{D_y} = \left| {\matrix{ \color{blue}{1} & \color{orange}{5} \cr \color{red}{2} & \color{#00BB80}{0} \cr } } \right| = \color{blue}{1} \cdot \color{#00BB80}{0} - \color{red}{2} \cdot \color{orange}{5} = 0 - 10 = - 10
-------------------------------------------------------------------------------
x=\frac{\,D_{x_\,}}{D^\,}=\frac{-5}{-5}=1   y=\frac{\,D_{y_\,}}{D^\,}=\frac{-10}{-5}=2   Решението е: (1,2)
Метадата
Глобално 2x2 Систем линеарни равенки
Накратко АВО и интерактивности за разбирање и вежбање на решавање на системи на 2 линеарни равенки во 2 променливи (непознати).
Одделение 7-10    
Тема Алгебра; Изрази, равенки и неравенки
Стандарди Algebra 1 3.1, Algebra 1 3.2, Algebra 1 3.3, ACT EE 28-32
Клучни зборови систем, линеарен систем, променлива, непознат, линеарна равенка, замена, спротивни коефициенти, собирање, елиминација
Коментари нема
Симнување  
Автор Л.Стојановска - контакт

Поврзани теми:


 Нагоре македонски речник математика makedonski recnik matematika