Дефиниција: Во геометрија, медијана на триаголник е отсечка која поврзува теме со средната точка на обратната страна.
Регулативи:
1. Секој триаголник има точно три медијани.
Интерактивен приказ
- Кликни и влечи било кое од темињата на триаголникот.
- Кликни во кутиите за прикажи/скрие.
2. Секоја медијана ја дели триаголникот во две помали триаголници со истата плоштина.
Интерактивен приказ: A_{\triangle \text{ABAm}}\, =\,A_{\triangle \text{ACAm}}%%
- Кликни и влечи било кое од темињата на триаголникот. Двата триаголници ги имаат истата основа и висина!
Доказ
Отвори го интерактивниот приказ погоре.
Бидејќи доказите се аналогни (исти зборови со различни букви за темињата и средните точки), ќе докажиме тврдењето само за едната медијана, а останатите по "аналогност" следуваат.
Ќе докажеме дека: A_{\triangle \text{ABAm}} = A_{\triangle \text{ACAm}}%% .
- \triangle \text{ABAm} и \triangle \text{ACAm} ја имаат истата висина h .
- Плоштината на триаголникот \triangle \text{ABAm} е: A_{\triangle \text{ABAm}} = \frac{1}{2} h \cdot \overline{BAm} .
- Плоштината на триаголникот \triangle \text{ACAm} е: A_{\triangle \text{ACAm}} = \frac{1}{2}\, h \cdot \overline{CAm} .
- Бидејќи \overline{АAm} е медијана, двата основи се еднакви, т.е. \overline{BAm}=\overline{BAm} .
- Следува: \frac{1}{2} h \cdot \overline{BAm} = \frac{1}{2}\, h \cdot \overline{CAm} , односно
- A_{\triangle \text{ABAm}} = A_{\triangle \text{ACAm}}%% , како што сакавме.
Заклучок: Секоја медијана го дели триаголникот на половина (се мисли на плоштината).
3. Трите медијани имаат заедничка пресечна точка во т.н. тежиште T или центроид на триаголникот.
Интерактивен приказ
- Кликни и влечи било кое од темињата на триаголникот.
Доказ
- Доказот е непосреда примена на Сева-тoва теорема и дефиниција на медијана.
- Од ова следува дека тежиштето на триаголник се наоѓа во внатрешноста на триаголникот.
4. Трите медијани го делат триаголникот во 6 помали триаголници со иста плоштина.
Интерактивен приказ
- Кликни и влечи било кој од темињата на триаголникот; кликни во кутиите за прикажи/скри.
Доказ
1. Според истиот доказ како за регулатива 2, плоштините на триаголните Т1 и Т2 се еднакви, T3 и T4 се еднакви, ...
2. Останува да докажиме дека А_{T1} = А_{T3} = А_{T5}
3. Според погорната регулатива 2, плоштините на триаголниците ABAm и ACAm се еднакви.
4. Заменувајќи од (2) во (1), имаме А_{T1}+А_{T1}+А_{T3} = А_{T3}+А_{T5}+А_{T5} односно
Заклучок: Плоштината на 6-те мали триаголници е еднаква.
Интерактивен приказ
- Кликни и влечкај било кое од темињата на триаголникот. Гледај како секогаш делот од медијанот кон темето е два пати подолг од делот кон средната точка. (Доколку не е "точно" два пати, зголемувај го бројот на децимали преку командата Опции -> Децимални места!)
 Нагоре
| македонски речник математика makedonski recnik matematika |
|
