Дефиниција: Во геометрија, медијана на триаголник е отсечка која поврзува теме со средната точка на обратната страна.

Друг термин за медијана е тежишна линија.

Регулативи:

1. Секој триаголник има точно три медијани.

Интерактивен приказ

  • Кликни и влечи било кое од темињата на триаголникот.
  • Кликни во кутиите за прикажи/скрие.
This browser does not have a Java Plug-in.
Get the latest Java Plug-in here.

2. Секоја медијана ја дели триаголникот во две помали триаголници со истата плоштина.

Интерактивен приказ:   A_{\triangle \text{ABAm}}\, =\,A_{\triangle \text{ACAm}}%%

  • Кликни и влечи било кое од темињата на триаголникот. Двата триаголници ги имаат истата основа и висина!
This browser does not have a Java Plug-in.
Get the latest Java Plug-in here.

Доказ

Отвори го интерактивниот приказ погоре.

Бидејќи доказите се аналогни (исти зборови со различни букви за темињата и средните точки), ќе докажиме тврдењето само за едната медијана, а останатите по "аналогност" следуваат.

Ќе докажеме дека: A_{\triangle \text{ABAm}} = A_{\triangle \text{ACAm}}%% .

  • \triangle \text{ABAm} и \triangle \text{ACAm} ја имаат истата висина h .
  • Плоштината на триаголникот \triangle \text{ABAm} е:   A_{\triangle \text{ABAm}} = \frac{1}{2} h \cdot \overline{BAm} .
  • Плоштината на триаголникот \triangle \text{ACAm} е:   A_{\triangle \text{ACAm}} = \frac{1}{2}\, h \cdot \overline{CAm} .
  • Бидејќи \overline{АAm} е медијана, двата основи се еднакви, т.е. \overline{BAm}=\overline{BAm} .
    • Следува: \frac{1}{2} h \cdot \overline{BAm} = \frac{1}{2}\, h \cdot \overline{CAm} , односно
    • A_{\triangle \text{ABAm}} = A_{\triangle \text{ACAm}}%% , како што сакавме.

Заклучок: Секоја медијана го дели триаголникот на половина (се мисли на плоштината).

3. Трите медијани имаат заедничка пресечна точка во т.н. тежиште T или центроид на триаголникот.

Интерактивен приказ

  • Кликни и влечи било кое од темињата на триаголникот.
This browser does not have a Java Plug-in.
Get the latest Java Plug-in here.

Доказ

  • Од ова следува дека тежиштето на триаголник се наоѓа во внатрешноста на триаголникот.

4. Трите медијани го делат триаголникот во 6 помали триаголници со иста плоштина.

Интерактивен приказ

  • Кликни и влечи било кој од темињата на триаголникот; кликни во кутиите за прикажи/скри.
This browser does not have a Java Plug-in.
Get the latest Java Plug-in here.

Доказ

1. Според истиот доказ како за регулатива 2, плоштините на триаголните Т1 и Т2 се еднакви, T3 и T4 се еднакви, ...

Значи А_{T1}=А_{T2} и А_{T3}=А_{T4} и А_{T5}=А_{T6}

2. Останува да докажиме дека А_{T1} = А_{T3} = А_{T5}

А според аналогноста на аргументите (исти зборови, различни броеви на триагониците), доволно е да докажеме една еднаквост.
Па, ќе докажеме дека А_{T1} = А_{T5} .

3. Според погорната регулатива 2, плоштините на триаголниците ABAm и ACAm се еднакви.

Знаич А_{T1}+А_{T2}+А_{T3} = А_{T4}+А_{T5}+А_{T6}

4. Заменувајќи од (2) во (1), имаме А_{T1}+А_{T1}+А_{T3} = А_{T3}+А_{T5}+А_{T5} односно

2 \cdot А_{T1} = 2 \cdot А_{T5} од што следува
А_{T1} = А_{T5} , т.е. една од еднаквостите наведени во (2)

Заклучок: Плоштината на 6-те мали триаголници е еднаква.

 

5. Две-третини од должината на медијаната е помеѓу темето и тежиштето, а една-третина е помеѓу тежиштето и средната точка.

Интерактивен приказ

  • Кликни и влечкај било кое од темињата на триаголникот. Гледај како секогаш делот од медијанот кон темето е два пати подолг од делот кон средната точка. (Доколку не е "точно" два пати, зголемувај го бројот на децимали преку командата Опции -> Децимални места!)
This browser does not have a Java Plug-in.
Get the latest Java Plug-in here.

 Нагоре македонски речник математика makedonski recnik matematika