Дефиниција: Тригонометрија е гранката во која се проучуваат своиствата на слични правоаголни триаголници.
Нека е даден правоаголен триаголник ⊿ABC. По дефиниција, правоаголен триаголник има внатрешен прав агол, т.е. агол со 90°, а останатите два агли се остри и взаемно комплементни. Во стандардно означување, темето на правиот агол се означува со голема буква С, а спротивната страна се нарекува хипотенуза и се означува со мала буква c. Другите две темиња се означуваат со А и В, соодветните нивни агли со \color{#008080}{\alpha} и \color{#800080}{\beta} , а соодветните спротивни страни со a и b (види слики).
Го анализираме аголот \color{#008080}{\alpha}    
  • Аголот \color{#008080}{\alpha} e остар агол, т.е. помал од 90°.
  • Аголот \color{#008080}{\alpha} се наоѓа помеѓу катета означена со b и хипотенузата c. Спротивно на аголот \color{#008080}{\alpha} е страната a. Страната b е соседната или налегнатата страна на \alpha .
Дефинираме три броеви кои се односите помеѓу три комбинации на две страни на овој триаголник во однос на аголот α.
\sin(\alpha)=\Large{\frac{\color{#008080}{a}}{\color{#ff0000}{c}}}=\Large{\frac{\color{#008080}{спротивната \,\, страна}}{\color{#ff0000}{хипотенузата}}} .

Оваа реченица се чита: синус од аголот α e a поделено со c, т.е. должината на катетата спротивна на аголот α поделена со должината на хипотенузата.

\cos(\alpha)==\Large{\frac{\color{#800080}{b}}{\color{#ff0000}{c}}}=\Large{\frac{\color{#800080}{налегнатата \,\, страна}}{\color{#ff0000}{хипотенузата}}} .

Оваа реченица се чита: косинус од аголот α e b поделено со c, т.е. должината на катетата соседна на аголот α поделена со должината на хипотенузата.

\mathop{\rm{tg}}(\alpha)=\Large{\frac{\color{#008080}{a}}{\color{#800080}{b}}}=\Large{\frac{\color{#008080}{спротивната \,\, страна}}{\color{#800080}{налегнатата \,\, страна}}} .

Оваа реченица се чита: тангенс од аголот α e a поделено со b, т.е. должината на страната спротивна на аголот α поделена со должината на катетата соседна на аголот α.

Има и три ресипрочни комбинации на односи (котангенс=1/тангенс, секанс=1/косинус и косеканс=1/синус), но истите во Р.Македонија ретко се користат (и воопшто не се наоѓаат на дигитрони или во програмски јазици).

Забележуваме дека во погорното, димензиите на дадениот правоаголен триаголник не биле специфицирани, само фактот дека ⊿ABC е правоаголен триаголник со остар агол α. Се разбира дека овие дефиниции за синус, косинус и тангенс не би било корисни ако зависиле од триаголникот, а не само од аголот α. Доказот дека вредностите зависат само од α е доказ за т.н. добродефинираност на тригонометриските вредности (види подолу).

Основни формули
\large{\mathop{\rm{tg}}(\alpha)=\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}}

Доказ: Според дефинициите на тригонометриските вредности:

\large{\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}}=\Large{\frac{\frac{a}{c}}{\,\,\frac{b}{c}\,\,}}=\large{\frac{a}{b}=\mathop{\rm{tg}}(\alpha)}
\large{(\sin(\alpha))^2+(\cos(\alpha))^2=1}

Доказ: Во било кој правоаголен триаголник, според питагорова теорема? следува:  а²+b²=c². Според дефинициите:

(\sin(\alpha))^2+(\cos(\alpha))^2=(\frac{a}{c})^2+(\frac{b}{c})^2=\frac{a^2}{c^2}+\frac{b^2}{c^2}=\frac{a^2+b^2}{c^2}=\frac{c^2}{c^2}=1

Често пати математичари ја пишат последната равенка во следната кратка форма:

\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1
Меѓутоа, оваа форма потешко се разбира при негово користење, а во математички софтвер и програмирање најсигурно е со повеќе загради. (Во Геогебра?, R програмски јазик?, SAGE програмски јазик? се користи sin(x)^2.)

Поврзани теми:
Правоаголен триаголник
Синус
Косинус
Тангенс


 Нагоре македонски речник математика makedonski recnik matematika